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论文在线分享-微分几何中曲率的发展与应用
时间:2021-04-02 14:29:17

  微分几何是数学王冠上的一颗璀璨明珠,作为一个重要分支,其研究发展影响并推动了数学领域其他学科的发展。曲线和曲面的曲率是微分几何重要的研究对象,其在工程技术、自然科学和日常生活中都有着广泛的应用,因此学习研究曲率的发展将会帮助人们更好地认识曲率,实现其更多的应用。本文通过总结微分几何和微分几何中曲率的发展简史,将数学家们对曲率研究的贡献进行了梳理,提出了曲率的研究进步是在微积分的发展推动几何学得到了进一步发展的情况下得以实现的。随后整理了五种重要曲率的概念、计算公式及其推导过程和物理含义,发现这些曲率间相互联系,只有合理利用多种曲率才能对曲面进行较完整的定义。最后以高斯曲率、曲线曲率和曲面曲率为例,介绍了它们在理论研究、日常生活和工程技术中的应用,并展望了高斯曲率在研究曲面性质中的作用。

  1.1背景

  微分几何是数学的一个重要分支,随着数学理论的不断发展与广泛应用,微分几何对数学中其他分支也有了更加深远的影响,近代数学家们对高维空间的微分几何及对曲线、曲面整体性质等进行研究,使微分几何学同复变函数论,黎曼几何、拓扑学、变分学、微积分学和李群代数等有了密切的联系,这些数学学科与微分几何互相渗透、交融,使得微分几何学成为现代数学研究热点之一;微分几何对于自然学科中其他学科的影响也十分深刻,如物理学科中的广义相对论,是推动这些理论发展的重要工具。与此同时,经过数学家们的不懈努力,微分几何学本身从内容到方法上也在不断更新,这门学科的每一步前进,不仅仅是知识的深化,同时也是知识领域的拓展。

  1.2曲率研究的意义

  曲线和曲面的曲率在理论研究以及解决实际生活中的实际问题等方面起着十分重要的意义,在微分几何中,曲率能够反映曲线和曲面的一些弯曲性质,如刻画曲线的扭转程度和判断曲面在给定点附近的弯曲性等[1],同时,曲率也是空间曲线伏雷内公式的构成数据之一。关于曲线和曲面的曲率,在工程技术、自然科学和日常生活中都起着至关重要的作用:在工程技术上,有搭建拱桥、选取适当直径的砂轮磨削工具内表面、计算房屋建筑梁所能承受的最大重力、分析地质结构等问题的研究;在自然科学上,有改进火车轨道进入弯道时角度、飞行员在飞机沿抛物线路径俯冲时受到座椅的反力、计算光线轨迹等问题的研究;在日常生活中,有自行车的转弯程度等的研究。曲率属性不是新属性,在石油工业以外的许多其他行业和学科中已经有可靠的应用记录,如医用脑部扫描仪、验光和地形分析等方面。由此可见,曲率在微分几何与其他自然科学中有着重要地位,因而对微分几何中曲率的发展与应用的研究具有理论价值和实际意义。

  1.3曲率的发展现状

  几何学有着悠久的历史,发展至今成为最重要的数学学科之一,著名的数学家高斯、黎曼、嘉当等人,都对微分几何学的发展做出过重大的贡献。目前有关微分几何中曲率的发展与应用一部分研究成果如下:刘建新在其文献《从高斯到黎曼的内蕴微分几何学发展》中,梳理了高斯之前的微分几何学史,研究了高斯内蕴几何学思想起源和逐步成熟的过程,研究了高斯与黎曼之间内蕴微分几何学的接受与发展过程[2];刘倩、文生兰、鲁志波在其文献《关于曲率的深入研究》中,就曲线上一点处曲率的存在条件做了讨论,提出了曲率存在的一个定理,给出了单侧曲率的概念,从而说明了曲率并非在光滑曲线上的每一点处都存在[3];王洪申等在其《三维自由曲线的相似性比较算法》中,针对B样条表达的空间自由曲线形状的相似性评价问题,提出了基于曲率特征的相似性评价算法[4];中国科学院长春光学精密机械与物理研究所应用光学国家重点实验室超精密光学工程研究中心王东方、李松全、贾鹏、代雷在其文献《三坐标测量曲率半径误差评价的新方法研究》中,将病态矩阵理论与三坐标检测曲率半径算法结合在一起,提出了基于IC值的三坐标检测曲率半径测量策略误差评估新方法[5];毛洁在其文献《高精度曲率半径干涉测量技术研究》中,详细研究了基于激光干涉测量法的曲率半径测试原理及关键技术的问题[6];王晓英在其文献《关于平面曲线曲率计算公式的探讨》中,根据平面曲线的曲率定义,利用拉格朗日中值定理,得到了平面曲线曲率计算公式的一种新的推导方法[7];张鑫浩在其文献《空间曲线曲率的求法》中,针对空间曲线在具体计算过程中的不同类型,选择了三种不同的计算方法来简化计算过程,第一种将一般参数转换为自然参数,第二种通过加速度的分解得出一个便于计算的公式,第三种将平面曲线转化为空间曲线[8]。微分几何中曲率的发展与其应用问题得到了国内外众多专家及研究学者的广泛关注。

  2微分几何中曲率的发展

  2.1微分几何中曲率发展简史

  微分几何,顾名思义,是利用微分对几何内容进行内在研究,主要对几何中曲线与曲面的内蕴性质等问题的研究。“几何”这一学科的历史可以追溯到公元前三百年左右,古希腊著名数学家欧几里得在其著作《几何原本》中,把人们公认的一些几何知识作为定义和公理,并在公理化思想的基础上研究图形的性质,推导演绎出一系列几何定理,从而产生了几何(欧氏几何)的概念,此后引起了许多数学家对几何的研究兴趣,1736年,瑞士数学家欧拉以曲线弧长这一几何量作为曲线上点的坐标,建立了平面曲线的内在坐标从而开始了曲线的内蕴性质的研究。随着微积分的诞生,微分几何得以成为独立学科不断发展,十九世纪初,法国数学家蒙日首先把微积分理论应用到曲线和曲面的研究中,并于1807年出版了著作《分析在几何学上的应用》,将曲线与曲面的重要性质用微分方程表示,使得经典微分几何的发展到达巅峰,该书成为微分几何领域中最早的著作,二十世纪,嘉当将微分方程组的不变量理论和李群理论结合起来,引入现代规范理论,他定义了广义空间,这类空间将克莱因的齐性空间以及黎曼的局部几何包括进来,被称为纤维丛上的联络。随着多复变函数理论的发展,数学家们将微分几何的研究对象扩展到复流形,再拓展到包含奇点的复解析空间理论。微分几何像是一座闪耀金色光芒、令人无比向往却一时无法攀到最高峰的山,吸引者众多微分几何学者勇往攀登,许多优秀数学家利用微积分的知识对曲线和曲面等微分几何领域不断研究并取得许多经典理论成果,使得微分几何在数学研究中的获得重要的地位。

  在微分几何中,主要研究了曲线与曲面的内蕴性质,其中曲率与几何形状密切相关。曲率的历史与发展可以追溯到公元前三世纪,当时古希腊数学家阿波罗尼奥斯应用简单的方法找到了曲率半径,与2000年后牛顿和惠更斯的方法类似,而直到十四世纪,曲率的研究才有了新的进展,尼科尔?奥雷斯姆指出圆的曲率是恒定的,为其半径的倒数,即。十七世纪,费马、笛卡尔、惠更斯、牛顿等人在曲率方面努力研究,由于缺乏微积分理论知识,他们所做出的研究也很少,几年后牛顿和莱布尼兹补充了微积分理论,牛顿利用导数描述曲率半径,即,莱布尼茨首次提出了密切圆的概念(也叫曲率圆),即在曲线上任意一点P的凹侧法线上取一点D,使得DP等于点P处的曲率半径,以D为圆心,DP为半径的圆就是曲线上P点的曲率圆,曲率圆与曲率有着紧密的联系,它能够与曲线在该点很好程度的密切,帮助我们更好的理解曲率与曲率半径之间的关系。十八世纪,瑞士数学家欧拉在关于测地学的工作中计算法曲率得到了著名的欧拉公式,并使用更为严格的数学方法描述了平均曲率,即平均曲率,使人们对曲率的理解进一步向前。十九世纪,德国数学家高斯于1827年,在测地学研究中,经过复杂计算发现曲面的两个主曲率乘积与它在外围的欧几里得空间中的形状无关,仅仅取决于其第一基本形式,即当曲面展开的时候,它上面每个点的曲率测度都是不变的,这就是著名的高斯绝妙定理,这个定理把曲面的研究从外围空间中解脱出来,将曲面自身作为一个空间来研究,从而创立了内蕴几何,开创了微分几何的新纪元。高斯在其发表的长达40页关于曲面理论的论文《关于曲面的一般研究》中,提出并证明了曲面三角形的内角与两个直角的差记为这个三角形的高斯曲率,这也就是高斯—博雷内公式的最早形式。高斯对曲率做出了重大的贡献,他基于欧拉的理论,认识到表面上特定点的总曲率可以表示为通过该点的最小曲率和最大曲率的乘积,即[9].十九世纪,德国数学家黎曼发表了一篇题为《关于几何学基础的假设》,他将人们通常考虑的二维欧式空间、三维欧式空间推广到高维空间中,形成n维黎曼几何,也就是现在的流形。高斯与黎曼开创的内蕴几何学深邃无比,令我们为微分几何的浩瀚优美所折服。二十世纪,陈省身完成了高斯——博内公式的内蕴证明,并将其推广到了高维的曲面以及紧致的黎曼流形中,他是现代微分几何学的重要奠基人,被誉为“整体微分几何之父”。随着计算机的出现,曲率才逐渐被利用,近年来曲率的研究也有所突破,我们可以看到在曲率在许多方面都有着重要的贡献,如用于开发计算机算法和找到有用的应用程序等[10]。

  由此发现微分几何的发展依赖着微积分的发展,与微积分的相伴而生,微积分也是微分几何中研究曲线与曲面的重要工具。曲率的发展经历了一个漫长的过程,由欧拉和高斯等优秀数学家在测地学研究中得到突破与发展,特别是高斯提出高斯绝妙定理,将曲面自身作为一个空间来研究,开创了微分几何的新纪元。所有数学理论的发展都离不开数学家们的睿智与努力。

  2.2曲率的分类及定义

  2.2.1曲线的曲率

  曲率是曲线的二维属性,它描述了曲线上特定点的弯曲程度,即曲线在特定点上偏离直线的程度,如果我们考虑曲线上的点,曲线上特定点P的曲率定义为角度相对于弧长的变化率[11],即曲率。在点处存在一个与点P有公共切线的圆,该圆称为曲线在该点密切圆(见图2-1)[12],密切圆的半径定义为曲率半径,曲率是曲率半径的倒数,即曲率。由此可知,圆一直沿其圆周弯曲相同的量,因此圆具有恒定的曲率,如果我们考虑曲率半径为无穷大的极限情况,则曲率圆局部会近似于一条直线,因此点P曲率近似为零。从曲率和曲率半径的关系可以看出,曲率半径越小,曲率越大,因此曲线越弯曲,曲率半径越大,曲率越小,因此曲线越平缓,从而可以通过计算曲率刻画曲线的弯曲程度。曲率也可以用导数表示[13],即曲率,由此可见,曲率与曲线的二阶导数紧密相关,因此,通常将二阶导数用作曲率的直接量度。

  图2-1曲率的定义

  2.2.2曲面的曲率

  曲线曲率概念可以容易的从二维推广到三维的曲面中,我们可以利用平面切割曲面来构造曲线,平面与曲面的相交点构成了一条可以计算任何点曲率的曲线。为了帮助理解,我们可以将曲面视为苹果的皮,将平面视为刀,刀在苹果皮上的切割痕迹代表曲线,若从中间横向切开苹果则会形成一个圆,并带有相应的曲率,但是,若从苹果顶部或底部横向切开,所形成圆会变小,从而导致相应的曲率变大,如果用刀进行无数次的切割,就可以提取无数个相应的曲率,我们会发现其中一类最有用的曲率是由与曲面垂直相交的平面所得到的曲率,这些曲率称为法曲率。

  1)法曲率:根据法曲率的定义,我们知道可以推导法曲率的计算公式,设在曲面上的曲线C的参数方程是,则在曲面上经点、与切方向相切的曲线段曲率向量在曲面的单位法向量上的投影为法曲率,即。我们可以通过法曲率的多种不同组合来定义与所有曲面有关的一些重要的曲率。

  2)主曲率:从穿过曲面上特定点的无数法向曲率来看,存在一条曲线,它定义了最大的绝对曲率,这称为最大曲率,垂直于的曲线所定义的曲率称为最小曲率,我们称这两个曲面属性为主曲率,它们代表法曲率的极值,在欧拉曲率公式中可以更好的理解[14],曲面上某一点的任何法向曲率为,其中是特定法曲率的平面与最大曲率的平面之间的角度。上述公式指出,可以从主曲率得出曲面上某一点的任何法曲率,利用欧拉曲率公式,我们针对七种不同形状的曲面计算了法曲率和高斯曲率,并绘制图2-2[15],以法曲率和高斯曲率为例,展示了曲面的描述方法,结合图形可以更加直观的体现主曲率、高斯曲率在刻画曲面形状时的作用,从图中不难看出,正是这种正交曲率的组合即主曲率告诉我们有关曲面局部形状的一些信息,因此主曲率是描述曲面的一个重要内蕴性质。

  图2-2七个不同形状曲面的法曲率与高斯曲率

  3)平均曲率:通过曲面上一个点的任意两个正交的法向曲率的平均值是恒定的,定义为平均曲率:,公式中和代表任意一对互相正交的法向曲率。

  4)高斯曲率:曲面上一点的高斯曲率定义为该点主曲率的乘积,即,高斯曲率也称为总曲率,以高斯和他著名的高斯绝妙定理命名。高斯绝妙定理指出,曲面上的等距弯曲不会改变该曲面上点的高斯曲率,也就是说,如果以某种方式折叠曲面,并且不破坏高斯曲率,拉伸或挤压该曲面,高斯曲率也将保持恒定。比如我们可以拿一张纸卷成圆柱或圆锥形,根据高斯绝妙定理,此操作不会改变高斯曲率,因为它保持不变并且始终为零,这种类型的曲面就是可展曲面。

  2.2.3曲率的计算公式

  表2-1曲面曲率的定义及物理含义

  序号属性名数学含义物理含义备注

  1曲线的曲率角度相对于弧长的变化率描述了曲线上特定点的弯曲程度

  2极大曲率(Kmax)过曲面上某一点的无穷多个正交曲率中存在一条曲线,该曲线的曲率为极大,此曲率称为极大曲率地质结构中断层表现为正曲率值和负曲率的邻接,曲率值确定了断层的错断方向,正的曲率值代表上升盘,负的曲率值代表下降盘。

  3极小曲率(Kmin)垂直于极大曲率曲线的曲率称为极小曲率。它与极大曲率称为主曲率,代表了法曲率的极值。当极小曲率非常小或者为零时,该曲面为一个可展曲面;当极小曲率很大时,意味着地质层面发生了非常等距畸变,即地质层面可能发生了错位和断裂,由此可以断定裂隙带。

  4平均曲率(Km)过曲面上某一点的任意两个相互垂直的法曲率的平均值为一常量,称为平均曲率。该曲率受极大曲率控制,与极大曲率看上去相似。与高斯曲率结合可判断曲面的特性。

  5高斯曲率(Kg)曲面的等距弯曲不会改变高斯曲率。很多曲面形状不能单独用高斯曲率加以区分,还需要平均曲率信息加以辅助。利用高斯曲率可以确定曲面在一点邻近的结构

  本文已经给出了微分几何中曲线曲率与曲面的四种曲率的计算公式及推导过程,下面对微分几何中五种常见曲率的数学含义、物理意义以及各自计算公式进行整理,简单阐述见表2-1[16]。

  2.2.4各曲率之间的相互联系

  三维中曲面的曲率是由二维曲线的曲率推广而来,而曲面中刻画曲面形状的四种曲率:法曲率、主曲率、平均曲率与高斯曲率彼此互相区别又有着紧密的联系,法曲率中一组极大与极小的法曲率称为主曲率,而极大曲率与极小的曲率的乘积为高斯曲率,平均曲率是一组正交曲率的平均值,极大曲率与极小曲率正交,则可以利用极大曲率与极小曲率的平均值计算平均曲率,反之,极大曲率与极小曲率也可以用平均曲率和高斯曲率计算。

  如前所述还可以发现许多曲面的形状不能仅通过高斯曲率来区分,而是需要添加平均曲率、主曲率等其他的曲率信息来进行判断,例如由高斯曲率的公式可以知道,平面在所有方向上的曲率均为零,圆锥在最小曲率方向的曲率为零,而在最大曲率方向的曲率为非零,那么用一张纸形成圆锥或圆柱体只会改变最大曲率,而最小曲率保持为零,因此,应该利用多种曲率来研究曲面的弯曲形状。

  综上,可以得出结论,各曲率之间有不同的定义、计算公式、物理意义及应用,各有侧重,但是其彼此之间也互相联系。当描述一个曲面的弯曲形状时,应综合各个曲率共同描述。

  3曲率的应用

  3.1曲面高斯曲率的应用

  曲面的高斯曲率在微分几何中具有极其重要的意义,利用高斯曲率可以更好的研究曲面的性质,下面从三个方面探讨曲面的高斯曲率的应用。

  3.1.1曲面的高斯曲率确定了曲面在一点邻近的结构

  曲面在一点邻近的结构与其在该点的高斯曲率有关,该点与附近点的高斯曲率的比较,可以反映该点附近的形状变化。注意到曲面的高斯曲率与是同号的,而总是正的。因此的符号决定曲面在所考虑点的邻近结构。下面根据的符号分三种情形加以讨论:

  1)时,即时,给定点为椭圆点。这时主曲率与同号,不妨设,那么对应于主方向的一条法截线朝法向量的正侧弯曲。由欧拉公式,所有法截线的曲率都是正的。因此,所有法截线都朝法向量的正侧弯曲,所以曲面沿所有方向都朝同一侧弯曲。当,都是负的时候,所有的法截线都朝法向量的负侧弯曲。总之,曲面在点附近向切平面的同一侧弯曲,故当时,曲面在椭圆点的邻近的形状近似于椭圆抛物面[17]。

  2)当时,即时,给定点为双曲点。这时的主曲率与异号,不妨假设,那么对应的两条法截线中有一条朝法向量的负侧弯曲,另一条朝法向量的正侧弯曲。由欧拉公式得到各个方向的法曲率的变化情况。当时,时,当,,从而当从0变到时,的符号改变两次零值。此时曲面在点的邻近的形状近似于双面抛物面。

  3)当时,即时,该点为抛物点。因此,至少有一个主曲率等于零,不妨设,那么对应于第一主方向的法截线朝法向量的正侧弯曲,另一条法截线一般以为拐点。因此一般第二条法截线从它的切线的一侧朝另一侧弯曲,曲面在点的邻近的形状近似于抛物柱面。

  3.1.2运用曲面的常高斯曲率确定曲面的第一基本形式

  假定曲面的高斯曲率是常数。在曲面上取测地平行坐标系,因而它的第一基本形式为,且满足条件:,根据高斯曲率的内蕴表达式,有,所以作为的函数,满足二阶常系数齐次方程(1),其初始条件是(2),根据的不同符号,方程(1)在初始条件(2)的解分别是

  i)时,;

  ii)时,;

  iii)时,。

  则常曲率曲面的第一基本形式分别为[18]:

  ①若曲面有正常数高斯曲率,则;

  ②若曲面的高斯曲率为零,则;

  ③若曲面有负常数高斯曲率,则。

  由上面的结论可推出:有相同的常数高斯曲率的曲面,在局部上一定可以彼此建立保长对应。

  3.1.3高斯曲率与可展曲面的联系

  由直线的轨迹所成的曲面称为直纹面,其参数表示为,为直纹面的导线的参数表示,是过导线上的直母线上的向量,直纹面分为两种情形[19]:

  1.不平行于,即,这种直纹面是不可展曲面;

  2.平行于,即,这种直纹面是可展曲面。

  由2知,是可展曲面的充要条件是,如果按公式求的高斯曲率,则,当时,必有,则。故当的高斯曲率为零时,这个直纹曲面为可展曲面。这一结论也可以这样叙述:曲面为可展曲面的充要条件是它的高斯曲率为零。

  由以上对曲面在一点邻近的结构的研究、对运用常数高斯曲率确定曲面的第一基本形式的研究及曲面为可展曲面的充要条件的研究,不难看出,高斯曲率是曲面中重要的内蕴量,在《微分几何》曲面论的研究中发挥了重要作用。

  3.2曲线曲率在日常生活中的应用

  曲线曲率在日程生活中有着广泛的应用,下面我们给出两个具体的实际问题,并运用曲率知识给出求解过程。这些问题只是曲率应用的冰山一角,帮助我们体会到微分几何中曲率的应用价值。

  例1.设工件内表面的截线为抛物线,现在用砂轮磨削该工件内表面,求适合的砂轮的直径。

  解:由题知,砂轮的半径应小于或等于抛物线中任意点的曲率半径,即小于或等于所有曲率半径中最小的曲率半径即可。我们知道抛物线在其顶点处的曲率最大,由曲率与曲率半径的关系知,顶点处的曲率半径最小。由给定抛物线方程知该抛物线顶点为,且,则由曲率计算公式计算顶点处曲率为,则顶点处曲率半径为。所以,适合的砂轮直径应该小于或等于2.5单位长。

  例2.一架飞机沿抛物线的路线向地面俯冲,在点处的速度为600m/s,设飞行员的体重为75kg,求飞机经过点时飞行员对飞行座椅的压力。

  解:由题知,,则由曲率计算公式计算点的曲率为,点处曲率半径为m,即飞行员在经过该点时刻做半径为m的圆周运动,则飞行员在处所受到的向心力为,则飞行员对座椅的压力为。(其中为飞行员自身的重力,)[20]

  通过上面两个例题可以看到,在实际生活中经常需要我们求曲率半径,这时可以利用曲率与曲率半径互为倒数的关系以及曲率的计算公式,先求解曲率,进而求解实际问题。这种方法也可以利用到在光学中,几何学与光学有着密切的联系[21],当我们要求解一条光线的径迹或想要知道一条光线上某点的曲率半径时,就必然会用到微分几何学中求解曲率与曲率半径的方法和概念。由此看来,微分几何中曲线曲率的应用是显而易见的[22]。

  3.3曲率在解释地质构造中的应用

  曲率属性分一维曲率属性和二维曲率属性,一维曲率属性采用单变量导数,以曲线描述为主,在地质构造解释中揭示背斜、向斜方面有它直观的物理意义,但对于水平地层、单斜和复杂地质构造则缺乏检测能力[22]。以二元偏导数为基础的曲面曲率属性,有非常明确的物理意义,如确定断层、断层的方向以及断层的几何形状等,Roberts[15]对此进行了全面的分类,他利用3×3平面网格拟合曲面计算曲率,并给出了详细计算的公式,讨论了它在构造图解释中的应用,并提出曲率属性对映射曲面具有强大的洞察力,尽管只提到了一小部分曲率属性,但在地震解释和地形分析时已经体现了它们的适用性;休斯顿大学应用物理实验室的Marfurt等人[23]在Roberts研究的基础上,将它推广到沿层曲率属性的提取,并将多尺度(分波数)分析应用其中,提出了梯度曲率属性,并将其用于小断层识别,使地震属性的解释派生出新的领域,并很快得到了推广使用[24~27]。GaoDenglian提出了梯度曲率属性,并将其用于小断层识别。

  曲面在生活中十分常见,人们需要更好地认识曲面、了解曲面、解读曲面来解决生活中的问题。本文通过简单总结曲率现有的应用实例,展示了其在描述曲面信息上的绝对优势和能力。目前,曲面的研究仍在继续,大到地层裂缝的研究[28]小到计算机的物品识别[29],曲率使得复杂的曲面变得简单。三维世界中大多数物体表面都是不规则的,可以看成由许多曲面构成的,而计算机却无法像人脑一样认识,观察这些曲面,因此,通过曲率来描述曲面,将其转化为本文相信,随着以人工智能为代表的新一代计算机技术的崛起,曲率的研究将会在包括计算机视觉识别[30]、三维点云数据识别[31]等在内的新兴技术方面得到更广泛的应用,焕发出新的光彩。