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论文写作模式-模糊证券投资组合优化模型
时间:2021-04-05 09:46:41

  投资者在证券市场中的决策往往具有不可预测的风险,这种不确定性包括随机不确定性和模糊不确定性。本次论文将重点利用区间数对证券投资中的模糊不确定性进行量化分析,建立证券投资组合优化模型。

  (一)引言

  众所周知,证券市场风险与机会并存。投资者往往希望在获得最大的预期收益的同时使风险最小,因此对风险的管理和控制尤为重要。这一焦点问题以前通常凭借投资者的个人经验来得以实现,但给实际操作带来了困难。1952年,Markowitz[1]首次量化了风险,建立了证券投资组合的M-V模型,奠定了现代金融学的基础。能够使如何精准地量化评估风险,依然是现代金融学的重大课题,近70年来大量的专家和学者对此进行了深入的研究,对原有的模型进行了进一步改进,也提出了非常多具有实际操作意义的创新性理论,构建了新的证券投资模型。事实上,如何能够实现收益和风险的平衡,仍然是证券投资的核心问题。

  (二)选题背景

  事物发展的不确定性分为内外两方面:外在的表现为随机性,即事情是否发生,主要体现信息的量;内在的表现为模糊性,即事物本身发展的不确定性,主要体现信息的含义。概率论已经对这种外在的随机性做出了非常多的探究,作为一种理论指导了很长一段时间内关于证券市场随机不确定性的研究。而在相当长的时间里,模糊不确定性被研究者所忽略,而模糊性作为事物的客观属性之一,它较随机性分布中更为广泛,同样体现在瞬息万变的证券市场之中,通过它能考虑政治、经济、心理等多方面对投资决策的影响,因此研究模糊性有其必要性[2]。

  利用模糊数,我们能够对决策的模糊不确定性进行定量研究,将投资者的个人偏好和满意度能够通过有柔性的数据得以体现,使已有的历史收益数据和专家知识、实际操作经验在投资组合模型中得以体现,从而实现对模型的优化,方便证券交易投资者的决策。而区间数主要应用于决策和排序问题中,它是一种比较特殊的模糊数,能够有效解决证券投资中的模糊不确定性问题。相比之下,基于概率论的相关投资分析方法往往需要大量的实验数据得到概率密度函数,因而使用区间数表示收益率、流动性、风险损失率能够有效的建立更为适用于实际情况的证券投资组合模型,从而实现模型的优化。

  (三)证券投资组合的研究现状

  证券投资组合能够实现风险的分散化,我们通过介绍几种投资组合的模型简单了解证券投资组合的发展,对其研究现状进行初步把握:

  1.M-V模型

  Markowitz[1]提出了均值-方差模型,该模型以预期收益(均值)和风险(方差)为目标,并由此推导出有效组合、有效前沿等概念。但该模型中方差的协方差矩阵计算复杂,模型情形设定过于理想化,和实际操作有较大出入。记n种证券的收益为方差为则可以得到M-V模型为:

  2.均值-熵模型

  王灿杰、邓雪[3]在模糊随机环境下把证券的收益率视作三角模糊变量,在可信性理论基础上建立了带融资约束条件的均值-熵-偏度三目标投资组合决策模型,拓展了基于可信性理论的投资组合决策模型的研究内容,同时通过对约束条件处理方法,外部档案维护方法等关键算子的改良,提出了一种新的约束多目标粒子群算法。Wei-Guo Zhang[4]等研究了一类具有模糊收益的多期投资组合选择问题。考虑投资组合的收益率、风险、交易成本和多样化程度四个指标,建立了多期投资组合选择的可能性均值-半方差熵模型。在该模型中,收益水平用收益的可能均值来量化,风险水平用收益的低可能半方差来表征,投资组合的多样化程度用原来提出的可能熵来度量。在此基础上,设计了一种混合智能算法来获得最优投资组合策略。最后,通过两个算例对可能熵模型和比例熵模型进行了比较分析,说明了所提方法和所设计算法的有效性。Peter Joseph Mercurio[5]等提出了一种将熵作为风险应用于投资组合优化的改进方法,称为收益熵投资组合优化(REPO),利用组合方法简化了投资组合熵的计算,同时使用回购协议解决了均值-方差投资组合优化(MVPO)的五个主要实际问题。回购使用平均熵目标函数,而不是MVPO中使用的平均方差目标函数。回购还利用优化目标函数中的组合生成函数简化了投资组合熵的计算。通过模拟历史数据上的竞争性投资组合,对回购和MVPO进行了比较,证明了在大多数情况下,回购明显优于MVPO。

  3.行为资产投资组合模型

  行为投资学表明,非理性投资者在进行投资决策时,往往会受到心理因素的影响,而不是现代投资理论所假设的投资者都是“完全理性”的理想状态。Youcheng Lou[6]通过构造反例说明,当CPT投资者足够厌恶损失时,收益头寸情形下的结果仍然成立,但在损失头寸情形下不再成立。Amelia Bilbao-Terol[7]等人讨论了行为投资组合理论框架下社会责任投资的多准则决策,这是一种新的危机环境投资方法。当前的经济危机加剧了金融社会责任,在经历了许多具有破坏性影响的过度时期之后。这项工作涉及金融文献中两个新兴的流:心理会计的行为投资组合理论和社会责任投资(SRI)。在此模型中,他们支持那些在心理会计框架下选择投资的投资者,从而希望投资组合达到一定的SR质量水平。为了调和这两种选择和避免不必要的财务损失,设计了一个基于目标规划的模型整合了投资者的两个基石。此外,他们还提出了一个模糊推理系统来确定分配给每个心理账户的金额以及分配给每个心理账户的置信水平,该工具基于模糊if-then规则建模的专家知识。Marc Oliver Rieger[8]考虑了SP/A与CPT两种行为决策理论的调和,证明了安全-潜在-渴望理论(SP/A)和累积前景理论(CPT)虽然基于非常不同的心理学原理,但在适当的框架下进行研究时,数学上非常相似。这有助于解释行为偏好下投资组合优化的结果。

  (四)模糊证券投资组合的研究现状

  模糊决策理论和可能性理论是模糊理论研究的两大里程碑,下面我们通过介绍这两种主要的模糊理论了解模糊证券投资组合研究的发展:

  1.模糊决策理论研究

  1970年,Bellman与Zadeh[9]建立了模糊决策理论。利用模糊目标和模糊约束得到模糊集和目标函数,从而得到最优决策集。Mengmeng Li[10]等在决策理论粗糙集与分级粗糙集融合的基础上,提出了一种双定量决策理论粗糙模糊集框架,该框架主要研究多粒度近似空间中的模糊概念。Derong Shi和Xiaoyan Zhang[11]以区间值模糊信息系统(IVFIS)为背景,讨论了决策理论中的粗糙集方法。主要工作是通过定义的关系将IVFIS转化为两种近似空间,分别是模糊近似空间和区间值模糊近似空间。在整个过程中考虑了模糊概率,并结合贝叶斯决策过程,研究了两种决策理论粗糙集方法,证明了他们提出的决策理论粗糙集方法比决策理论粗糙集(DTRS)具有更广泛的应用。Bingzhen Sun[12]等基于变精度多属性多粒度模糊粗糙集的多属性群决策问题,对于一个被考虑的多属性群决策问题,不同决策者对同一决策问题可能使用不同的评价属性集。在多属性模糊决策空间上,根据不同属性集构造δ邻域,利用δ邻域关系类,建立了多属性多粒化决策空间,研究了脆/模糊决策对象对多属性多粒化决策空间的粗糙逼近。在此基础上,探讨了变精度多属性多粒度模糊粗糙集模型与传统模型之间的相互关系,提出了一种基于变精度多属性多粒度模糊粗糙集和VIKOR方法的多属性群决策方法,并对现有的不同评价属性集的多属性群决策方法进行了详细的比较,指出了其优缺点。Jie Wang[13]等人研究了q-rung正射模糊环境下多属性决策的最大偏差法,指出在复杂的决策环境中,由于决策者的不确定性和主观性,决策者给出的方案评价信息往往具有模糊性和不确定性。作为直觉模糊集(IFSs)和毕达哥拉斯模糊集(PFSs)的推广,q-rung正射模糊集(q-ROFS)更适合表达模糊和不确定信息。但是,在实际的多属性决策问题中,决策支持系统和属性的权重往往是完全未知或部分已知的,而最大偏差法是解决这类问题的一个很好的工具。因此,结合q-ROFS和传统的最大偏差法,研究了q-ROFS和q-rivofs下的最大偏差法。首先简要介绍了q-rung正射模糊集(q-rofs)和q-rung区间值正射模糊集(q-rivofs)的基本概念。然后,将最大偏差法与q-rung正射模糊信息相结合,建立了两种新的决策模型。在此基础上,将所提出的模型应用于具有q阶正射空气模糊信息的MADM问题。通过与已有方法的比较,分析了新模型的有效性和优越性,从而有效地解决决策信息用q-rung正射模糊数(q-ROFNs)表示且属性不完全的MADM问题。

  2.可能性理论研究

  龚艳冰[14]等讨论了基于可能性均值-方差距离的模糊最小一乘回归模型,针对自变量的系数和输出因变量是模糊数的模糊线性回归模型,引入模糊数的可能性均值和方差,构建模糊数的可能性均值-方差距离测度。借助于最小一乘法原理,给出了使得可能性均值-方差距离误差达到最小的回归系数估计值的线性规划模型。最后给出实例说明了方法的有效性和可行性。任爱红[15]研究了针对目标函数和约束函数中系数均为模糊随机变量的双层规划问题,基于模糊随机变量的期望值概念,将原模糊随机双层规划问题变形为一个模糊双层规划问题。采用模糊数的确定可能性均值对上下层目标函数进行去模糊化,利用基于可能性测度的模糊机会约束方法处理模糊约束函数,提出模糊随机双层确定可能性均值-机会约束规划模型,并给出其确定等价模型,再运用K次最好算法求解最终确定模型。王波[16]等针对现实中测量数据的不确定性不完全满足概率论中的"随机变量"定义,不一定服从随机分布,用经典平差方法处理数据显得不够严密的问题。基于模糊理论,以模糊数为研究对象,选取常见的三角、余弦及抛物线模糊数,分别构建基于高斯-马尔柯夫模型(G-M model)的可能性线性规划模型。运用MATLAB优化工具箱里linprog函数进行编程,以水准网测量数据为例进行模糊解算,并与经典最小二乘估计结果进行比较、分析。经过实例验证是可行、合理的,并且利用抛物线模糊数的可能性线性规划模型解算时效果最佳。盖宇希[17]运用可能性理论和数据包络分析方法研究了不同风险测度下的投资组合效率评价问题,运用数据包络分析方法分别构建以可能性方差、半方差以及半绝对偏差为风险测度的三种模糊投资组合效率评价模型,并通过大量的仿真分析说明所构建模型的有效性和实用性,在静态模糊投资组合效率评价的基础上,进一步开展多期模糊投资组合效率评价的研究。

  二、相关理论知识

  (一)区间数的定义及相关性质

  区间数是实数的推广,对任意记为一个标准的二元区间数,简称为区间数。其中称为区间数的下界,称为区间数的上界,称为区间数的区间距离。我们不妨再引入一个区间数,则:

  1.关于区间数的基本运算有:

  (1)加法运算法则:

  (2)减法运算法则:

  (3)乘法运算法则:

  (4)除法运算法则:

  (5)数乘运算法则:

  2.关于区间数的运算定律有:

  (1)所有的区间数都满足加法交换律,即对于任意两个区间数成立:

  (2)所有的区间数都满足加法结合律,即对于任意三个区间数成立:

  (3)所有的区间数都满足乘法交换律,即对于任意两个区间数成立:

  (4)所有的区间数都满足乘法结合律,即对于任意三个区间数,成立:

  (5)所有的区间数都满足结合律,即对于任意三个区间数成立:

  (二)区间收益率的获取

  我们使用四种因子[2]确定证券的区间收益率:

  1.过去一年收益率的算术平均数因子。找到对应证券的相关数据,对其求算术平均数,记录所得结果,记为因子。

  2.证券自发行以来的盈利率因子。我们以证券过去一年的平均交易价格为现期,以证券的发行价格为基期,得到盈利率因子,记为。

  3.基于历史的趋势因子。结合专家对收益率趋势历史变化的看法,我们可以采用因子表示收益率发展的趋势,将预期收益率同历史数据进行大小比较。

  4.基于预测的预期收益因子。结合相关财务报表和理论知识,我们对该上市公司的发展做出合理预测,判断其收益未来的升降,得到一个理论分析结果,由此推测出因子,为保证其数据可靠性我们可以在各财经网站上进行查阅和比较。

  得到四个因子后我们进行比较,得到某种证券对应的区间收益率为:

  (三)流动性的定义及相关研究

  流动性是指一定时间内完成交易所需的成本,或寻找一个合理的价格所需要的时间,是在短时间内以合理价格迅速成交的能力。流动性是市场的重要属性,对投资者来说是必须考虑的对象,上市公司也需要根据流动性做出相应决策,在真实投资决策中不可忽略。学者根据流动性的特性,将其分为了弹性、深度、宽度、及时性四个角度,而深度是最重要的一部分。而深度又包括了换手率、成交率、深度改进比例等多个指标,我们在本文中使用换手率来体现市场的流动性,它是指一段时间以内,证券成交量与流通的证券数量的比值。通常来说,流动性越强,证券交易就越容易,证券的变现能力就越强;流动性越弱,证券交易就越难,证券的变现能力就越弱。设第种证券的市场流动性为,为投资者所能接受的该证券投资组合的最低流动性,则种证券的流动性加权之和满足:

  (四)风险损失率及比例熵的定义

  风险损失率是一个投资周期中资产在发生风险时可能的损失在总投资中所占的比例,以此来衡量证券交易的风险。设第种证券的风险为,则种证券的风险为。

  熵能够很好的分散投资风险[18],我们使用比例熵指标度量资产组合每个时期的分散化程度,则模型的解具有较好的多样性。设为比例熵的最低分散化程度,则比例熵满足:。

  (五)Pareto最优解的定义及定理

  1.相关原理:

  (1)帕累托理论

  Pareto在1987年提出了著名的二八定律:这个世界80%的财富掌握在20%的人手中。这种理论被逐渐运用于社会学和经济学中,并产生广泛影响。二八定律又被称为不平衡法则,即这种“关键的少数”和“次要的多数”体现了原因和结果、投入和产出、努力和回报之间无法解释的不平衡。

  (2)帕累托最优

  帕累托最优(Pareto Optimal)是资源分配的最优状态,即:在不使任何一个人变坏的情况下,不可能使某些人的情况变得更好;不可能再改善某些人的状况,而不使其他人受损。帕累托最优是博弈论的重要组成部分,在经济学、工程学、社会科学等多方面有着深远影响和广泛运用。

  (3)帕累托最优解

  Pareto解又称为非支配解,Pareto给的解释是:假设任何二解和对所有目标而言,优于,我们称支配,若没有被其他解所支配,则称为帕累托解或非支配解。在有多个目标时,由于存在目标之间的冲突和无法比较的现象,往往会出现某个解在一个目标上是最好的,但在其他目标上是最差的情况。在改进任何目标函数时,必定会对削弱至少一个其他函数的解,我们称之为帕累托解。一组目标函数最优解的集合称之为Pareto最优集,最优集在空间上所形成的曲面称之为Pareto的前沿面。

  一般地,多目标规划问题可以描述为如下形式:

  对于多目标问题,记它的变量可行域为,相应的目标可行域为

  对一个可行点有则称为多目标线性线性问题的绝对最优解。若不存在使得则称多目标线性规划问题的有效解。多目标线性规划问题的有效解又称为Pareto最优解。

  2.定理[19]:当单目标规划的最优解一定是多目标规划的有效解。

  假设是单目标规划的最优解,不是多目标规划的有效解。

  则必有成立:

  又有故成立:

  与为单目标最优解相矛盾,假设错误。

  终上所述,是单目标规划的最优解时,必然是多目标规划的有效解。

  三、模型的建立

  (一)传统M-V模型的建立

  1952年,Markowitz[1]建立了M-V均值方差模型,奠定了现代金融学的基础。在此模型中,表示持有证券资产的预期收益,它通常用过去一段时间投资组合的收益表示。表示投资组合的方差,它通常用过去一段时间投资组合的方差来表示持有这种证券的风险,用来约束投资者所能承担的最大风险。假定证券是无限可分的,则购买种资产的所有权重之和为1,而在实际操作中,购买一种资产就能使收益最大的同时尽可能降低风险到最小的可能性非常的小,所以对每种资产我们都设计一个投资权重的上限。

  (二)模糊M-V模型的建立

  在允许卖空、不存在没有风险的收益证券种类的前提下,我们引入模糊数对模型进行初步优化:

  (三)多目标的投资组合模型

  实际上,由于协方差和二次约束的实际求解并不方便,并且M-V模型忽略了证券交易的相关费用,孙冲[20]等使用了V型的交易费用函数建立投资组合模型,在原预期的收益基础上减去投资组合所需的交易费用。若第种证券的原投资权重为,实际投资权重为,则这一种证券交易费用用公式可以表示为,为该种证券对应的常数。那么对于整个证券投资组合而言,总的交易费用为。

  代替方差考虑为刻画第种资产投资风险的指标:。

  换手率用来表示各种资产的流动性指标:。

  比例熵和用来表示投资的分散化程度:。

  这样我们就可以建立起如下的模型:

  (四)建立区间模糊线性规划模型

  将模糊数都用区间数表示,即则模型变为:

  (五)转化为具有清晰数的线性规划模型

  可以看出,上面是一个双目标规划模型,我们不妨引入投资者的偏好系数,将其转变为单目标规划问题。越小即越接近于0表示投资者厌恶风险,越大即越接近于1表示投资者追求收益最大化。不妨令

  ,(1)

  其中有:

  是固定值。

  在此基础上,我们再引入投资者的乐观程度,越小即越接近于0表示投资者对预期收益越悲观,越大即越接近于1表示投资者对预期收益越乐观。这样对于(1)我们可以进一步转化为:

  ,(2)

  另一方面,关于换手率,我们引入投资者对证券投资组合的满意度,越小即越接近于0表示投资者越不满意,越大即越接近于1表示投资者满意。

  ,(3)

  我们可转化为,(4)

  这样我们就可以得到一个具有清晰数的线性规划模型:

  在此模型中,均可为固定值,这样我们可以根据市场的不同情况,投资者的偏好来得到投资组合的线性规划模型的Pareto最优解。

  四、数值实例

  我们在wind经济数据库中找到金健米业(股票代码600127)、江南高纤(股票代码600527)、中国卫通(股票代码601698)等三支上市公司的收益区间、换手率、风险损失率的在2019年03月-2020年03月的具体数据如表一所示:

  金健米业江南高纤中国卫通

  收益区间[0.0175,0.0177][0.0348,0.0352][0.0395,0.0407]

  换手率[0.16,0.35][0.15,0.26][0.19,0.23]

  风险损失率[0.0110,0.0116][0.0094,0.0128][0.0106,0.0144]

  表一

  为给定比例,不妨将视为常量,利用以上数据可以得到一个基于区间数的多目标规划模型:

  我们考虑其中的一种情况:这样可以将以上模型转化为线性规划模型:

  用Lingo软件求解可以得到这三种股票的投资分配权重如表二所示:

  金健米业江南高纤中国卫通

  权重0.5093747 0.1067701 0.3838552

  表二

  五、总结

  本文中,我们了解了模糊证券投资组合优化模型的研究现状,介绍了区间数以及帕累托最优解相关的理论知识。区间数是一类特殊的模糊数,它能很好的量化证券投资过程的模糊不确定性。通过使用区间数这一工具,我们用区间收益率来表示投资者的预期收益,风险损失率来表示证券市场中随处存在的风险,换手率表示证券市场的流动性,用比例熵来约束投资组合分散程度的最低限度,用一个具体的数值对每种证券在投资组合中占有的最高权重予以约束,以此来建立一个多目标的线性规划模型。凭借着对投资者乐观程度的判断以及投资者对投资组合模型的满意度,我们又很好的将多目标模型转化为了单目标线性规划,大大减少了计算量。完成整个优化模型的构建后,我们能在一定条件下指导投资者进行更加理性的投资决策。事实上,基于模糊不确定性的组合越来越受到研究人员的重视,相信投资者能够基于不断发展的理论获得满意的收益。  

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