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论文写作分析-线性矩阵不等式的求解和应用
时间:2021-04-15 08:58:49

  近年来,在MATLAB软件中引入LMI工具箱之后,利用线性矩阵不等式(LMI)来解决系统和控制问题已成为一个主要的研究焦点。本文将详细介绍LMI的定义,分析LMI求解的三种问题,对LMI在多方面的应用进行整理和总结,介绍并分析与LMI相关的两种系统,探索系统与LMI的联系,并且尝试运用MATLAB软件进行相关的例题求解,再进一步对LMI进行学习研究。

  科学家们对线性矩阵不等式的研究不是一蹴而就的,最早的动态系统分析的线性矩阵不等式(LMI)方法是在1890年。当时的俄国数学家李雅普诺夫(Lyapunov)在他的著作中,提出了微分方程:

  的稳定条件:如果可以找到一个矩阵,并且满足以下条件:

  ,且

  我们就可以说微分方程是稳定的,是线性矩阵不等式(LMI)的一种特殊形式,被称为李雅普诺夫(Lyapunov)不等式。通过这个理论,我们才能把线性矩阵不等式和控制系统的稳定性联系起来。

  又过了四十年左右,李雅普诺夫(Lyapunov)方法被一些科学家应用于控制工程中的某些经典问题,虽然没有明确的表示出线性矩阵不等式,但实际上已经具有了线性矩阵不等式(LMI)的雏形。受到这一举动的影响,许多科学家渐渐意识到了:李雅普诺夫(Lyapunov)理论可以应用于控制工程中的重要问题。

  在那之后,科学家们先是研究出了利用图形方法解决线性矩阵不等式(LMI)问题,紧接着又发现线性矩阵不等式(LMI)还可以通过求解代数李卡第(Riccati)方程获得求解。二十世纪八十年代科学家们又提出了多种线性矩阵不等式(LMI)标准问题的数值解法,把LMI问题看成凸优化问题处理是这些方法的共同思路。

  1995年,求解高维的线性矩阵不等式(LMI)成为了一种可能,这里面最主要的原因是:MATLAB推出了LMI工具箱。LMI工具箱是在基于内点法的基础上求解线性矩阵不等式(LMI)问题。人们通过LMI工具箱,让求解线性矩阵不等式变得更加方便、更加简单,从而进一步推动了线性矩阵不等式在系统和控制领域中的应用。

  在本篇文章中,我们将先对线性矩阵不等式的定义进行简单的介绍,总结线性矩阵不等式的三类标准问题以及对应的MATLAB求解器,学习并探索线性矩阵不等式在系统方面的应用,分析如何利用线性矩阵不等式进行相关变量的求解,例如求解系统性能指标和状态反馈控制器。最后我们还尝试运用MATLAB软件进行了相关的例题求解。

  2线性矩阵不等式及其求解

  2.1线性矩阵不等式的定义

  具有下列形式的矩阵不等式称为线性矩阵不等式(LMI)或者严格线性矩阵不等式:

  ①

  其中,是m个实数变量,也称为线性矩阵不等式的决策变量。并称:

  为决策向量。

  是给定的实对称矩阵。表示矩阵是负定的,即对于任意的非零向量有,或者的最大特征值小于零。

  不等式①是一般的线性矩阵不等式的表示形式,但是在线性矩阵不等式系统(LMI)中,我们总是将问题中的变量直接用矩阵表示,很少以不等式①的形式给出。李雅普诺夫(Lyapunov)不等式是我们最常用到的不等式,即:

  ②

  其中,是给定的常数矩阵,是对称矩阵,是矩阵变量。用下例来说明不等式①与②之间的相互转化。

  例:常数,为零矩阵,变量,那么②中的决策变量是决策向量的独立元,将这个矩阵不等式写成一般形式①的时候,就会变成下列不等式:

  ③

  显然,不等式③涉及的矩阵要比不等式②中更多,如果矩阵是阶矩阵,那么不等式③中就会有个决策变量,需要占据更多的空间。因此LMI工具箱中的函数一般采用与矩阵不等式②类似的形式表示。

  2.2标准的线性矩阵不等式问题

  2.2.1可行性问题

  可行性的意思是指,要找到一个决策变量让下列线性矩阵不等式成立,即:

  成立。

  2.2.2具有线性矩阵不等式限制条件的线性规划问题

  这类问题是指,要在一个线性矩阵不等式的约束条件下,求解一个线性规划问题。即:

  ,满足于

  找到决策变量。

  2.2.3具有线性矩阵不等式限制条件的广义特征值最小化问题

  此类问题目的在于找到最小的特征值,具有多个线性矩阵不等式的限制条件。即:

  满足于

  找到特征值。

  2.3如何利用MATLAB来解决线性矩阵不等式问题

  2.3.1 feasp函数

  在MATLAB的LMI工具箱中,线性矩阵不等式的可行性问题我们一般通过feasp函数进行求解,一般表达式如下:

  求解器feasp()是利用一个辅助凸优化问题,即:

  来确定线性矩阵不等式系统的可行性。

  2.3.2 mincx函数

  在MATLAB的LMI工具箱中,mincx函数对应解决线性矩阵不等式的具有线性矩阵不等式限制条件的线性规划问题,一般表达式如下:

  求解器Mincx()求解的优化问题如下:

  这个优化问题在求解线性目标函数最小化的基础上,还添加了线性矩阵不等式约束的条件。

  2.3.3 gevp函数

  在MATLAB的LMI工具箱中,gevp函数对应解决线性矩阵不等式的具有线性矩阵不等式限制条件的广义特征值最小化问题,一般表达式如下:

  利用求解器gevp(),就可以得到优化问题:

  的全局最小值和决策向量的最优解。

  在控制系统中,一些性能指标、稳定性判断依据都可以转化成线性矩阵不等式(LMI)的以上三类标准问题。

  2.4其它可以转化成线性矩阵不等式表示的问题

  在矩阵不等式中,除去线性的李雅普诺夫(Lyapunov)不等式,还有含有二次项的李卡第(Riccati)不等式,通常表示为:

  可以看到,李卡第(Riccati)不等式里面包含二次项,所以它是二次矩阵不等式,不是线性矩阵不等式。我们在做这类问题时,需要先利用矩阵的Schur补引理,把复杂的二次矩阵不等式转换成简单的线性矩阵不等式。我们不加证明的给出如下定理:

  Schur引理:对给定的对称矩阵,以下3个结论是等价的:

  ?;

  ?

  ?

  运用上述引理,就可以将李卡第(Riccati)不等式变成线性矩阵不等式。即:

  在控制理论中,大多数控制问题都可以转变成标准的三种线性矩阵不等式问题中的一种。

  3线性矩阵不等式的应用

  3.1李雅普诺夫稳定理论与线性矩阵不等式之间的关系

  首先我们来了解稳定理论中的稳定两个字,这个稳定是指系统是稳定的,这里我们只讨论系统是渐近稳定的情况。我们如何直观的判断出系统已经稳定了呢?显然这里就应该有一个系统的平衡状态,这样来看,系统的稳定性都是相对于系统的平衡状态来说的。当我们给一个已经是平衡状态的系统增加一个外界干扰输入时,系统的平衡状态便会被打破,在经过足够长的时间之后,系统有可能会逐渐趋于平衡状态,也有可能会无限远离平衡状态,系统恢复到平衡状态的能力,就叫做系统的李雅普诺夫稳定性。

  李雅普诺夫稳定理论具有间接法和直接法,其中最实用、也是最常被人提起的是直接法,也叫做李雅普诺夫第二法。这一理论的灵感来源于振动系统,我们将直尺的一半伸到桌子外,给直尺尖端施加一个向下的力,直尺便会开始振动,随着时间的流逝,直尺最后总会趋于稳定。李雅普诺夫就是把这样一个简单的原理推广到了一般的系统中,他引入了一个虚构的能量函数,表示系统状态,表示时间,李雅普诺夫认为,在这个渐近稳定的振动系统中,系统的总能量总是(含势能和动能)随着时间的增长而不断衰减,到平衡状态时达到最小值。我们以最简单的李雅普诺夫函数为例:即二次型函数,其中,如果函数的导数小于零,那么这个时候我们就认为系统是渐近稳定的。在解决问题时,我们通常先假设李雅普诺夫函数的导数小于零,如果可以通过线性矩阵不等式求出未知量,那么系统便是稳定的,相反,系统便是不稳定的。

  我们在控制系统中总会听到鲁棒性这一名词,其实鲁棒性是英译过来的,它的中文意思就是强化的意思,简单的说就是这个系统非常强壮,书面来说就是当系统受到外界因素干扰或者出现测量误差时依旧可以保持系统达到预期目标的能力。

  在系统鲁棒性的分析和测试中,我们可以运用李雅普诺夫稳定理论,将大多数问题都转变成线性矩阵不等式的最优化问题。线性矩阵不等式的求解在这些最优化问题中又起着非常重要的作用。自从MATLAB_LMI工具被研发出来后,线性矩阵不等式的求解变得更加简单快捷,各种线性矩阵不等式问题的最优解都可以通过LMI工具箱很快的找出,因此线性矩阵不等式系统在系统鲁棒性的分析测试中占据的比重越来越大,MATLAB_LMI工具也成为了鲁棒稳定性分析中不可或缺的工具。

  3.2系统性能与线性矩阵不等式之间的关系

  3.2.1连续时间系统的简单介绍

  首先我们把连续时间系统表示为:,其中是系统的状态向量,是外部扰动输入,是与有关的系统辅助被调输出,都为已知的矩阵,在之后3.2.1和3.2.2的内容中所指的系统都为此系统(无特别指出),记为系统的增益指标。我们直接了解有关这个系统的以下几个定义。

  信号是平方可积的,我们定义,且是向量的欧式范数,这样也可以记作信号的能量,我们将所有有限能量的全体记成,即:,我们就把称为信号的范数。

  我们再来相应的了解信号的范数,假设信号是幅值有界的,我们定义,如果是一个标量信号,那么就等于的峰值,我们将所有幅值有界的信号全体记作,即:,也被我们称为信号的范数。

  性能指标是判断一个系统功能的具体标准,并且和线性矩阵不等式有着密切的关系,线性矩阵不等式便是通过各种性能指标从而应用到各种系统中,在系统中,我们介绍的性能指标主要有以下三种:

  IE增益:,EP增益:,EE增益:。

  我们通常也用传递函数来拟合系统输入与输出之间的关系,系统的传递函数矩阵,的范数定义成:

  的范数定义成:,并且它恰好等于系统的增益。在SISO(单输入单输出)系统中,我们也可以得到。

  3.2.2将线性矩阵不等式用于刻画系统范数

  在这一小节,我们将逐个讲解系统的各个性能指标和线性矩阵不等式之间的关系。

  IE增益:如果系统是严格真()的和渐进稳定的,则系统的IE增益是有限的,且,其中矩阵的范数取成矩阵的最大奇异值,且矩阵是以下李雅普诺夫(Lyapunov)方程:

  的解,则由下式得到:

  若找到最优解,则。

  EP增益:如果系统是严格真()的和渐进稳定的,则系统的EP增益是有限的,。

  矩阵是李雅普诺夫(Lyapunov)方程:的解,也由下面的式子确定:

  若找到最优解,则。

  EE增益:对于系统,设是一个给定的常数,则以下条件是等价的:

  ①系统渐进稳定,且。

  ②存在一个对称矩阵,使得。

  系统的范数:如果系统是渐进稳定的,则:

  ①,当且仅当;

  ②若,则以下结论等价:

  I.。

  II.存在对称矩阵,使得:

  ,。

  III.存在对称矩阵,使得:

  ,。

  范数是系统中非常重要的增益指标,控制问题也是系统中经常研究的问题,线性矩阵不等式便常用于求解这类问题,我们在这里给出系统范数与线性矩阵不等式之间的关系:给定的一个常数,对于系统来说,若存在对称矩阵,使得以下的线性矩阵不等式成立:

  则,系统渐进稳定。对于上式矩阵不等式,我们可以令,运用Schur补引理,当时,就可以得到线性矩阵不等式:。这样就得到了系统的范数与线性矩阵不等式之间的关系,,使得控制问题可以由线性矩阵不等式进行求解。

  3.3线性不确定系统与状态反馈控制律

  首先我们考虑线性不确定系统,其中是系统控制输入,在本小节中所指的系统都为此系统(无特别指出),其中不确定参数矩阵:

  和是常数矩阵,用于反映不确定性结构,是变化的不确定矩阵,并且满足:。状态反馈控制律为,我们把闭环系统记为:

  ,(3.3.1)

  其中,对于系统来说,控制问题主要是设计状态反馈控制律,使得闭环系统(3.3.1)在任意非零初始值下状态都能趋于稳定。

  为了达到控制系统趋于稳定的目的,我们定义一个性能指标:

  其中为给定的对称半正定实矩阵,为给定的对称正定实矩阵。如果存在控制器和正数,使得对所有允许的不确定性,闭环系统(3.3.1)是渐进稳定的,且闭环性能指标值满足:,则称为闭环系统(3.3.1)的一个性能上界,反馈控制器称为闭环系统(3.3.1)的一个保性能控制器。在系统的控制问题中,我们常用线性矩阵不等式设计不确定系统的保性能控制器,即求状态反馈控制律。为了达到这一目的,先给出假设:

  干扰有界,且在其连续区域内满足。

  对于给定的性能指标,对所有满足的实矩阵,若存在对称正定实矩阵,实矩阵以及标量,让下面的矩阵不等式成立:

  此时,为闭环系统(3.3.1)的保性能控制律,相应的一个系统性能上界。我们在求解时,通常先假定线性矩阵不等式成立,在利用MATLAB_LMI工具箱求解出里面的未知矩阵,最后得到状态反馈控制律和系统性能标量。

  3.4利用MATLAB中的LMI工具箱解决线性矩阵不等式问题

  例:考虑系统设计状态反馈控制律使得闭环系统渐进稳定其中,。

  (闭环系统也叫做反馈系统,整个系统像是一个环状,系统的输入影响输出,同时输入又受到输出的直接或者间接的影响。)

  要使闭环系统渐进稳定,需要满足如下矩阵不等式:

  左右同时乘,得到:

  我们记,,得到:。

  我们用编程可以实现以上不等式,代码如下:

  clc

  clear all

  A=[-2-1 1;4 2 1;1-1-2];

  B=[2;0;2];

  setlmis([])

  X=lmivar(1,[3 1])

  W=lmivar(2,[1 3])

  lmiterm([1 1 1 X],A,1,'s')

  lmiterm([1 1 1 W],B,1,'s')

  lmiterm([-2 1 1 X],1,1)

  lmisys=getlmis

  [tmin,xfeas]=feasp(lmisys)

  XX=dec2mat(lmisys,xfeas,X)

  WW=dec2mat(lmisys,xfeas,W)

  K=WW*inv(XX)

  结果如下:

  tmin=

  -0.0228

  xfeas=

  0.4608

  -0.3905

  0.6160

  0.4230

  -0.1360

  0.7676

  -0.2190

  -0.7418

  0.2150

  XX=

  0.4608-0.3905 0.4230

  -0.3905 0.6160-0.1360

  0.4230-0.1360 0.7676

  WW=

  -0.2190-0.7418 0.2150

  K=

  -11.9729-7.5721 5.5362

  tmin<0表示LMI存在可行解xfeas,把这个结果整理得到:

  ,

  ,为控制反馈增益矩阵。