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论文方法介绍-几类常微分方程的积分因子
时间:2021-05-06 16:02:10

  微分方程是人类研究自然变化规律的一种重要手段,对解决我们日常生活中的实际问题有很大帮助。恰当微分方程通过积分,可以求出其通解,而非恰当微分方程则很难直接求出其通解,甚至是根本求不出来,所以我们需要借助一个工具将非恰当微分方程转化为恰当微分方程,而这个转化工具就是积分因子。

  本文首先介绍了恰当方程及其几种求解解法,包括公式法,分项组合法以及线积分法。接着探讨了微分方程积分因子存在的充要条件,通过教材,得到两个积分因子的基本公式,在这两个基本公式的条件下,推导出了几类形式特殊的积分因子,而由前面提到的求解积分因子的方法,最后研究了四类常微分方程的积分因子,分别是可分离齐次方程、变量方程、伯努利方程和一阶线性方程。

  在近代数学中,微分方程是一个很重要的部分,并且微分方程和我们的现实生活相关联。通过求出方程的解从而得到解决问题的答案,但往往答案并不是容易得到的,直接求解微分方程可能是困难的,甚至是无法求出的。所以数学家们不断努力寻求如何求得方程的解,不能直接求出或是不容易直接求出的,就将其化为容易求出的形式,这时积分因子便出现了,欧拉是最早提出积分因子概念的数学家,通过深入的学习和研究,他还论证了积分因子法的一个使用条件,积分因子的研究到现在已经很成熟了,唯一可惜的是,直到现在,也没有找到一个积分因子的普遍解法。尽管如此,我们也无法否认,积分因子的出现,让常微分方程的求解变得简单快捷,大大减少了求解方程所需要的时间以及精力,所以对于积分因子的研究很有意义,这是求解常微分方程的一个捷径,但是这个捷径却可能并不如我们想的那样好走,因为积分因子的求解并不是容易的,甚至是困难的。

  一阶常微分方程的求解方法,经过国内外众多数学家的努力,已经形成了一套完整的学科体系,但这还远远不够,由于积分因子问题所涉及的面较广且复杂,所以对于有些积分因子的求解并不是很完善,比如利用解恰当方程的方法求常微分方程的解,是一种好方法,然而积分因子的求解却是不容易的,有时甚至根本无法求出,或者比直接求解方程本身更为复杂,这是我们需要努力去探索的方向。

  一阶微分方程的一般形式,通过教材,我们得知其为,如果我们要求这个方程的解,可以通过常数变易、变量代换、分离变量、积分因子等方法,求解方法多种多样。如果微分方程满足条件,那么这个微分方程就是恰当方程,反之也一样,这是恰当微分方程的充要条件。我们知道,恰当微分方程的解,可以用三种不同的方法来求得,但是我们要知道的一点是,非恰当方程的数量要比恰当方程多得多,这表示,在我们运用微分方程求解问题的过程中,极有可能碰到不是恰当方程的微分方程,这个时候,我们该怎么办呢?这个问题,数学家们在几百年前就遇到了,这时候,他们发现,将非恰当微分方程转化为恰当方程也是一种好的求解方法,所以就有了积分因子。

  恰当微分方程的概念和求法,正文中有说明,这是弄懂积分因子的先决条件,了解了恰当微分方程后,对于积分因子的理解会更加透彻,恰当微分方程通过积分,就可以求出其通解,但并非所有的微分方程,都是恰当微分方程,所以我们要利用恰当方程的判定条件,来确定方程其是否是恰当的,在此基础上再考虑是否寻求积分因子。接下来给出教材上只与和只与有关的积分因子的一般形式,并在此基础上,又给出了几种特殊形式的积分因子存在的充要条件。积分因子的研究从目前的参考资料来看,许多的研究者们从不同的角度、不同的出发点和不同的研究方向中得出了许多成果,如文[1-3]给出了几种求解积分因子的不同方法,文[4]给出了一阶微分方程三类积分因子的计算方法。而在文[5]中则给出了积分因子的存在条件和相应的求法,文[6-7]对求解一阶微分方程,如何使用积分因子法进行了详细的阐述。文[9]则是让我们知道解微分方程,除了使用积分因子法外,还有别的方法,如凑微分法。

  积分因子的积分因子的研究永远是一个热门问题,同时也是一个难点问题。本文在一阶微分方程的范围内对积分因子作了粗浅的讨论,由于水平有限,这其中难免有不足之处,还需要我们在今后的学习过程中认真探索,努力学习新的知识。

  1恰当微分方程

  1.1恰当微分方程的基本概念

  将一阶方程

  写成微分形式

  ,

  把,看成是平等的,然后写成一阶微分方程的对称形式如下

  (1.1)

  我们可以假设,,在某一个矩形域内,是关于和的连续函数,且和在这个矩形域内,还具有连续的一阶偏导数[1]。

  同时,对于微分方程(1.1),如果存在某个二元函数,它的全微分展开式正好是微分方程(1.1)的左边部分,那么就可以得到如下关系式[1]

  ,

  则称为恰当微分方程[1]。

  1.2恰当微分方程的求法

  恰当方程的求主要有三种,分别是公式法,分项组合法、线积分法[9]。下面简单介绍。

  1.2.1公式法

  公式法一般有三个步骤

  (1)判断是否为恰当微分方程,若是则下一步

  (2)

  (3)

  例1验证方程是否为恰当方程,并求它的通解

  解

  故方程为恰当方程。

  即

  积分后得

  故

  从而方程通解为

  1.2.2分项组合法

  分项组合法的使用分为两个步骤[9],首先是“分项”,即把本身已经构成全微分的项分出来,然后是“组合”,即把其余的项重新组合使它们变成全微分,这样就保证了每个组合都是全微分.

  一般应熟记书上的一些简单二元函数的全微分[1],如

  例2用分项组合的方法,求方程的通解

  解通过对题目的观察和分析,我们对方程进行分项组合可以得到

  对方程积分和微分

  然后使用上面的全微分公式可以写成

  于是得到方程的通解

  1.2.3线积分法

  从恰当方程的充要条件[1]可知,曲线积分与路径无关。这时取,则

  从而(1.1)的通解为

  例3求解方程。

  解

  故方程为恰当微分方程,由于在全平面上连续,

  故取则

  所以通解为:

  2积分因子

  2.1积分因子的基本概念

  我们知道,对一个恰当微分方程进行积分,就可以求出它的通解,但问题是,并非所有的微分方程都是恰当方程,对于不是恰当方程的微分方程,如何求它的通解就成了一个问题,这时,积分因子的概念就被提出了。

  假如存在一个连续可微的函数[1],可以使微分方程变成一个恰当方程[1],即存在函数,使得

  ,(2.1)

  那么就叫做方程(1.1)的积分因子[1]。

  通过上面的条件,我们可以知道方程(2.1)的通解为,又因为函数连续可微,所以微分方程(2.1)的通解也是微分方程(1.1)的通解。

  由上面得到的结论,我们知道,方程不是恰当微分方程,通过查阅常微分方程这本书,我知道了一些简单二元函数的全微分形式[1],如,要想将方程化为上面的全微分形式,方程两边必须要乘以,由此可知是方程的一个积分因子,然后方程两边同时乘以,得到式子,这样就得到其通解为,除此之外,通过对方程进行不同的凑微分运算,还求得了这个方程另外的积分因子如,。

  2.2积分因子存在的条件

  由上面的结论我们知道,方程为恰当微分方程的条

  件是

  ,

  而由于连续可微,

  所以也为恰当微分方程,那么可知

  为方程(1.1)的积分因子的条件是

  ,

  即,(2.2)

  计算得到。

  下面我们反过来,证明为方程(1.1)的积分因子

  又

  。

  另有

  (2.3)

  2.3几种特殊积分因子的求法

  2.3.1教材给出的求解积分因子的方法

  一般地,如果微分方程可解,它的积分因子必定存在。一般的常微分方程的教材,对于积分因子的求解,往往只给出了只和与只和有关的,这种特殊形式的积分因子。这是为什么呢?我们可以看看上面的积分因子存在条件(2.3),如果我们尝试去解方程(2.3),在求解的时候,我们会发现,其求解很复杂,计算量极大。其计算难度,比直接求解方程本身,反而可能更为困难。所以我们在教材给出的计算积分因子的基础上,再探讨一些特殊类型的积分因子及其存在的充要条件。

  如果微分方程(1.1),有只与有关的积分因子,那么它的充要条件则为[1]

  (2.4)

  这里仅为与有关的函数,求得方程的一个积分因子[1]。

  例4求微分方程的解。

  解,,所以,,,由此可知,原方程不是恰当微分方程。可得,易知方程有只与有关的积分因子

  。

  再用积分因子乘方程的两边就可以得到

  ,

  最后得到结论,

  所以微分方程的通解为

  如果微分方程(1.1),有只与有关的积分因子,那么它的充要条件为[1]

  ,

  这里仅为的函数,从而求得方程的一个积分因子[1]。

  例5求解方程[1]。

  解,,而,,所以知道原方程不是恰当微分方程,由于,所以方程有只与有关的积分因子[1]。用积分因子乘以方程两边得[1],即,得到方程的通解为。

  2.3.3几类特殊形式的积分因子

  方程除了具有只与和只与有关的上面的两种形式的积分因子以外,还具有如下形式的积分因子存在:

  如、、、等,其存在的充要条件分别是:

  (1),是只与有关的函数;

  (2),是仅与有关的函数;

  (3),是仅与有关的函数;

  (4),是只与有关的函数;

  证明由于式子过多,在此我们选择式子(3)来求证,别的式子也能够按照这个方法去求证。

  我们可以假设积分因子是与有关的函数,由此可以得到

  ,,

  那么积分因子,应该满足有如下形式的偏微分方程

  ,

  通过变换,可以得到如下的一阶线性齐次微分方程

  ,(2.5)

  我们可以看到,式子(2.5)的左边是只与有关的函数,而它的右边也和有关。

  由以上条件,我们可以得到方程。

  由此可知,如果一个方程有像这种形式的积分因子存在,那么它的必要条件通过总结出的上面的积分因子的形式,就可以很容易求得了。如果反过来是和有关的函数,而且是方程(2.5)的解话,说明它也是方程(1.1)的积分因子。通过方程对微分方程(2.5)的求解,我们得到其积分因子为

  。

  从上面所求证的例子中我们知道,求解微分方程的积分因子的时候,需要我们去判断,以及它们的偏微分是否能够满足以上几种关系式,如果关系式满足上面的某个式子,微分方程的积分因子很快就能求得,从而微分方程的解也能很快得到,所以上面写出的几种关系式,可以作为我们求解积分因子时的快捷方法。

  例6求方程的积分因子。

  解,,

  由题得到,说明这个方程是和有关的函数,所以微分方程有只与有关的积分因子

  。

  我们知道,是微分方程的积分因子的充要条件是

  ,

  且

  先考虑其必要性,若是微分方程的积分因子,由积分因子的定义我们知道,它必须满足,由,,可以得到式子,

  ,(2.6)

  由上面的式子我可以知道,若左端是含的函数,则也是含的函数。充分性则可由式子(2.6)知,若微分方程的右边是含的函数,那么也是含的函数,并且由前面的推证中我们可以知道,是微分方程的一个积分因子,这样就能证明上文。

  3四种类型的微分方程的解法

  通过对常微分方程的学习,我们了解了几种常见的不同类型的微分方程,通过一些数学方法,可以将它们都分解为合适的方程,从而求得它们的解,方程有解存在,就说明方程的积分因子一定存在,我们可以通过求出这些微分方程的积分因子,从而得到求这些微分方程的解的新方法,利用积分因子求方程的解,一般要比直接求解方程简单快捷,所以推导一些常见类型的微分方程的积分因子,对我们是很有帮助的,下面我们来一一说明这些方程积分因子的求解。

  3.1一阶齐次方程

  设齐次方程为:(3.1)

  其中,

  方程两边同时乘以,然后令,代入方程化得:

  ,(3.2)

  分离变量可得积分因子,

  把代入方程并乘以,得到方程(3.1)的积分因子

  。

  例7求微分方程的解。

  解由题可知次方程为齐次方程,积分因子为

  ,

  用积分因子乘方程两边得

  然后令,,那么由全微分方程的通解公式得到

  ,

  最后求得方程的解为,

  。

  3.2变量分离方程

  通过教材,我们知道变量分离方程的一般形式为[1],将其写成微分的形式为

  ,

  然后用同时乘以方程两边,那么得到

  ,

  由以上条件,我们最后得到方程的通解为

  ,

  那么由此可得,方程的积分因子为。

  例8求解方程

  解由题可知,

  得到,

  从而得到积分因子,

  将积分因子乘方程两边得,

  最后方程两边同时积分,得到方程的解为

  3.3伯努利方程

  通过教材,我们知道伯努利方程的一般形式为[1],,将其写成微分形式就是,然后两边同乘得,,,那么得到,,通过积分因子法得,然后变换形式,得到积分因子,最后将乘以,就可以得到伯努利方程的积分因子,其为。

  例9求解方程。

  解由题得,,那么可以得到其积分因子,

  用同时乘方程两边然后将其化为对称的形式,得,

  然后进行凑微分,得到:,

  最后两边同时积分,求得通解为:

  3.4一阶线性方程

  线性方程的一般形式为,写成微分形式得,其中,,因此,

  ,所以,从而方程有积分因子。

  由此可知方程的通解为。

  例10求方程的通解。

  解将方程化为,,

  得到积分因子,

  然后用乘方程两边得到:,

  再通过分项组合得到:,

  最后方程两边同时积分,求得其通解为:(为任意常数)。