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论文写作分析-高等代数中的几个反问题
时间:2021-05-08 14:44:53

  高等代数命题包括许多部分,其中反问题研究在其中扮演着重要的角色.但是在实际的高等数学教育以及教材当中反问题研究却往往不被提及.笔者通过研究各种代数中的反问题,对其中向量组矩阵线性变换等等反问题项目进行深化研究,有利于提升高等数学,代数问题中的反向思维能力以及创造性.提升高等数学领域对反问题的重视性,在提升教学质量以及研究理论方面具有一定现实意义.

  高等代数教育往往是通过代数问题提升学生的独立思考能力,逻辑思维能力,创新能力和计算能力.也是高等数学专业的必修课程之一.高等代数不仅仅是正面问题的知识,对反问题的了解也尤为重要.深入的了解,反问题研究反问题,不仅能够提升学生的整体逻辑能力,也能够强化对正向问题的分析.随着教学质量的不断提升,近年来反问题研究已经被提上日程,反问题也扮演着越来越重要的作用,当一个命题条件进行削弱时,得出的结果可靠性也会相应的降低.有的甚至会直接导致命题的误解.所以对命题条件进行简化,抓住其中的主要部分,在对已知结论进行反驳时,寻找命题中缺失的必要条件.在进行推翻结论时,往往需要反向举证.笔者依据反问题的具体特点,对矩阵线性方程线性变换等等具有特征的数学代数问题进行分析讨论,并举例研究.

  2选题背景及意义

  2.1选题背景

  随着现代信息科技的进步和迅猛发展,现在的社会科学发展的力量和速度日益的增加,高等代数作为一门大学数学的重要的基础学科已经向所有的学科和领域进行渗透,它在所有领域内突出的表现和发挥出来的重要作用已经越来越明显.

  中学代数进阶后变为高等代数是数学专业学生必修课之一.经济学问题,物理问题,化学问题,均可利用高等代数进行解决.想要针对理科学业进一步深入学习,就必须要学好高等代数.所以在教育行业高等代数教育中,各个专业高等代数的学习和教育中反问题一直都是各个专业的教师及学生都十分重视的一个问题.所以笔者个人认为学习高等代数时应该将反问题作为学习的另一个重要问题,并且应该令学生熟悉反问题的解题思路.但是现阶段在高校的高等代数教材中对反问题的涉猎甚少.本文以几个反问题举例,并列举其解决方法,帮助学生进一步的认识反问题的重要性.这篇论文将对反问题的高等代数求解方法、反问题以及相关的问题在高等代数上的应用进行系统性的归纳,并且论文中还有很多相关的例题可以给予帮助和理解.

  2.2选题意义

  正向问题在高等教学中的地位固然重要,但是反例能够巩固高等数学概念,加深学生对于数学问题的理解与思索.当命题出现错误时,学生可以依据其缺少的必然环节提出反驳,应用反例能够直接证实命题的错误性.强化学生对于命题的基本认识,培养学生逻辑思维能力的同时,提升其反向思索的能力.

  3高等代数相关理论概述

  3.1矩阵的定义及相关定理

  定义3.1设是矩阵中的元素的代数余子式,则称矩阵为矩阵的伴随矩阵.

  定理3.1设矩阵可逆,则有

  (1);

  (2).

  定理3.2若齐次线性方程组有非零解,则它存在基础解系,且其基础解系所含向量的个数是,这里为系数矩阵的秩.

  定理3.3如果是方程组的特解,那么此方程组的任意一个解都可以用来表示.

  其中是此方程组的齐次方程组的一个解.因此,对于这一个方程组的任意一个特解,当取所有此方程组的齐次方程组的解时,就给出了此方程组的所有解.

  设数域上的一个向量空间为().

  定义3.2设,若存在一个非零向量在向量空间中,使成立,则把称作的一个特征值,把称作是的一个属于特征值的特征向量.显然,在是的一个属于特征值的特征向量的情况下,对于,都有.

  所以,若是的属于特征值的一个特征向量,则任一非零向量都是属于的特征向量.

  3.2特征值和特征向量的一些性质

  (1)若矩阵的重的特征值为,矩阵的特征值会有不超过个线性无关的特征向量.

  (2)若特征向量都是属于特征值在矩阵中的,则有如果成立,也为矩阵中属于特征值的特征向量.

  (3)若是矩阵的互不相同的特征值,而且它所对应的特征向量分别是,那么线性无关.

  (4)若是矩阵的特征值,则可得,与.

  (5)如果一个实对称矩阵的特征值全都是实数,那么属于它的不同的特征值的特征向量互相正交.

  (6)若是一个在实对称矩阵中的重的特征值,那么矩阵中的特征值刚好有个线性无关的特征向量.

  (7)设为任一多项式,为矩阵中的一个特征值,则有为矩阵多项式中的一个特征值.

  4高等代数中的一些逆向问题

  4.1已知特征向量与特征值反求矩阵

  在我们现在使用的高等代数教材中已知矩阵,让我们求矩阵的特征值和特征向量的问题是大家熟知的问题,而已知特征值与特征向量反求矩阵的问题,则往往被人们忽略了.面对这一问题可以从矩阵的对角化入手大体可分为以下三类.

  (1)设为矩阵的个特征值,则他们对应的特征向量分别为.若这些特征向量之间线性相关,则满足条件的矩阵不唯一,我们可以用解线性方程组这一方法去求出矩阵.

  例4.1.1已知方阵为一个三阶方阵,它的3个特征值分别为,它们对应的特征向量为:,,.求矩阵.

  解设,则,

  两边求转置得,

  由,解得.

  同理可得与.

  所以.

  (2)如果这些特征向量线性无关,则矩阵可进行对角化,即存在可逆矩阵使,其中矩阵中主对角线上的元素为矩阵的特征值的对角形矩阵.此时,存在可逆矩阵,使得,于是我们可以求出.即.

  例4.1.2设3阶矩阵的特征值,,,对应的特征向量依次为,,.求矩阵.

  解令,则

  由已知条件得,所以

  .

  例4.1.3已知方阵为一个三阶方阵,它的3个特征值分别为,它们对应的特征向量为,,.求矩阵.

  解从题目可知线性无关知可以对角化.于是,令

  ,

  .

  (3)已知实对称矩阵的特征值以及部分特征向量.

  例4.1.4已知矩阵为三阶实对称阵.它的特征值分别为,,特征值对应的特征向量,求矩阵.

  解设特征值对应的特征向量为,由矩阵为实对称矩阵可知不同特征值对应的特征向量互相正交,则有,即.

  由此解得,.又,即

  .

  例4.1.5设矩阵为三阶实对称矩阵.它的特征值分别为,,特征值对应的特征向量为.求出矩阵.

  解设特征值对应的特征向量为,由矩阵为实对称矩阵则可以得出与正交,即.解此齐次线性方程组,可以得出基础解系.

  即为特征值对应的特征向量.按照上面(1)中所给出的方法求出矩阵为

  .

  4.2已知线性变换在定基下的矩阵,反求线性变换

  线性变换是高等数学教材中的重要课程,大部分学生都会通过给定矩阵以及线性变换模式求解.但是在题目中仅给出矩阵的情况下,要求列出线性变换规律的问题,却没有出现在教材当中.例题和习题中也并未涉及,学生遇到此问题时难以解决.

  例4.2.1已知的线性变化关于的基,,的矩阵为,求线性变换.

  解取的标准基,,,则

  ,于是

  在在给定基下的矩阵为可知

  于是对于任意的,,从而

  即为所求的线性变换.

  4.3已知线性变换的核来反求相应的线性变换

  设数域上的向量空间的线性变换为,则集合为线性变换的核.从一般来讲,已知线性变换,则零向量的一切原像就是.该问题的反问题根据下面给出的引理求出.

  引理1设数域上的维向量空间为,为向量空间的一个基,是秩为的任意一个矩阵.则可以由矩阵确定线性变换,即为向量空间上以为核的一个线性变换.

  由引理1我们可以将求出从中以为核的线性变换的步骤归结为:

  (1)求的极大无关组,则.

  (2)将扩充为的一个基.

  (3)取任意一个秩为的矩阵,令,则即为所求.

  例4.3.1在中求以,,为核的线性变换.

  解因为,则线性相关且它的一个极大无关组为,将扩充为的一个基.,,,取矩阵,作矩阵

  于是,使得的线性变换的核.

  4.4已知线性方程组的解反求线性方程组

  (1)已知或的通解,求方程组

  定理4.4.1设维向量空间中线性无关,令,元齐次线性方程组的基础解系为.令,则基础解系为.

  证明由于是线性无关的,则的秩为,所以的基础解系含有个向量.又因为矩阵的秩为,所以的基础解系含有个向量.

  由转置后有,即是的解.

  因此,是的一个基础解系.

  例4.4.1设方程组的通解为,求出此非齐次线性方程组.

  解设.由,可知,我们可以得出.为此方程组的基础解系.

  令,考查,即.

  此非齐次线性方程组,即

  把特解代入方程组得,

  于是所求非齐次线性方程组为.

  (2)设是的任一子空间,求以为解空间的齐次线性方程组的问题,我们有

  定理1设是的任一子空间,为的基,.元齐次线性方程组的基础解系为,令.

  则是齐次线性方程组的解空间.

  证明只要证明是齐次线性方程组的解即可.由于是的基.于是的秩为,的基础解系含有个向量,从而矩阵的秩为.因而,齐次线性方程组的解空间是维,且,于是,即是齐次线性方程组的解,而线性无关,且的解空间是维的.因此是的一个基础解系.又,所以是的解空间.

  推论1若,则任取阶可逆矩阵,则方程组的解空间就是.

  推论2设为中一组向量,线性无关.则非齐次线性方程组的通解为.其中.的含义如同定理1,为的一个特解.

  例4.4.2设中的向量,,.求以为解空间的齐次线性方程组.

  解由于线性相关,的一个基为.令则齐次线性方正组的基础解系为,.令则齐次线性方程组,即的基础解系为,,解空间为.

  综上阐述我们可以看见,看通过学习高等代数切实提升学生的逻辑思考能力与计算能力,不仅要解决相应的正面问题,对于反向问题的思考也不可或缺.在切实解决学生的反问题的同时,提高学生反向思维与思路拓展的能力.

  4.5已知可逆矩阵或伴随矩阵反求矩阵

  (1)已知矩阵中或,求.

  (i)已知求.

  思路由进行解题.

  例4.5.1已知,求.

  解

  于是.

  (ii)已知,求.

  思路(1)矩阵可逆.因为,所以若求出,则可求出,于是可求出.由(因为若,即可逆,由得,从而;若,则.)可求出,再求,进而得.

  (2)矩阵不可逆.若为不可逆矩阵,则,由伴随矩阵的性质可知,从而,因为,所以,那么.

  4.6其他有关矩阵的线性变换的逆向问题

  问题在既定的线性变换条件中对矩阵进行求解的问题,大多数学生均轻车熟路,而现在题目中给出一个矩阵,然后把矩阵经过一系列的变换后得到矩阵,让我们写出其中的变换矩阵。或者给出我们四个矩阵,让我们写出四个矩阵之间有什么关系,面对这种问题,我们应该如何去处理?

  思路利用初等矩阵与矩阵初等变换之间的关系,对矩阵进行一次行(列)初等变换相当于在矩阵的左(右)端乘相应的初等矩阵.

  例4.6.1设,经过矩阵初等变换后得到矩阵,且.求出可逆矩阵,,使.

  解因为

  即

  所以

  又因为,则有.

  例4.6.2设有理向量空间的线性变换在基底,,下的矩阵是,求线性变换及的核子空间的基底.

  解取的标准基,,,则

  于是,由在给定基下的矩阵是知,于是对任意,有.从而

  由于是基底,故当且仅当.

  令,则得线性方程组,解得.

  因此.

  所以是以为基底的1维子空间.

  总结

  综上所述,高等数学中的解决正向思维问题固然重要,但是涉及到反向思维的反问题,也同样对学生的教学和发展具有重要的意义,不仅问题可以妥善的得到解决,命题的回答或反问还同样可以使整体教学成果得以实质性的提升.它不仅使知识能有效的应用在数学上,帮助其更简单的分析和运算,而且也同样能有效的应用在生活上,有效的处理生活的各类知识和问题.我们要学习并且热爱研究高等数学,让知识联系到我们的生活,通过高等数学的反向思维或数学方法的应用来有效处理某些生活上的问题.如果离开了高等数学,科技无法继续进步,生活恐怕很难继续维持,所以我们必须认真学习并热爱数学,深入探讨高等数学,从而努力促进科技的发展,共同创造美好的明天.