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论文方法介绍-浅谈高中数学的七种数学思想
时间:2021-05-21 17:56:07

  本文研究了函数与方程、数形结合、分类与整合、化归与转化以及特殊与一般和必然与或然、有限与无限这七种主要的数学思想。利用理论结合实践的方法,将课本上的死知识转化为活的实践理论。使同学掌握将数学知识与技能转变为分析问题与解决问题的方法,提高解题能力与数学素养。

  函数思想指的是利用运动变化的观点和方法对数量之间的关系进行分析和研究,从而构建出相对应的函数,利用函数的相关知识对问题进行解决;方程思想指的是探寻在题目中存在的不同变量之间的数量关系,创设符合关系的方程以及方程组,再利用解方程以及方程性质对问题进行分析转化,求得答案。依照问题的条件创建出相应的函数关系以及列方程或者方程组,并依靠函数知识或者依靠解方程的方式来对问题进行解决的过程即为函数与方程思想。

  1.2举例说明

  例1.2.1,,求的值。

  解:

  ∴构造函数

  单调递增,

  ∴

  ∴

  分析:由题目中两个方程,通过分解因式等方式得到相似方程,从而构造函数,通过函数的单调性,最值等问题找到关于的关系式,从而得到答案。

  大学数学:数分中函数的连续性,特征函数(有界函数,周期函数等)体现了这种思想。

  1.3函数与方程思想在应用过程中的注意事项

  函数是高考中的重要考点,其内容在整个高中学习过程中都可见,函数与方程思想的中心是对于变量动态进行探寻,学生应多做几道例题找到其中解题规律,比如当应用于选择题时,如果方法繁琐,过程复杂,可以直接使用定性法,不但可以得到正确答案还可以节约答题时间。

  在解决三角函数、解三角形、数列以及不等式和解析几何的计算中该思想都具有重要应用的价值。

  2数形结合思想

  2.1概述

  数形结合是指数和形之间的一种对应关系。将抽象的数学语言和数量关系与直观的几何图形和位置相关联,再以“以形助数”与“以数解形”以及“数形转换”的方法,把复杂的问题变成简单的问题,让抽象问题具体化,来实现优化解题的过程就是数形结合思想。

  2.2举例说明

  例2.2.1若关于的方程的两个根都在和之间,求的取值范围。

  解:令,其图像与轴交点的横坐标就是方程的解

  两个根都在和之间

  ∴有,,

  ∴

  例2.2.2如果实数和满足,求的最大值。

  1

  解:当与圆在第一象限相切时斜率最大

  ∴

  分析:等式有明显几何意义,它在平面坐标上表示一个圆心为,半径的圆(如图一)。而则表示圆上的点与坐标原点的连线的斜率。所以,该题可转化为几何问题:动点在以为圆心,为半径的圆上进行移动,求斜率的最大值。

  大学数学:解析几何中的柱面,曲面,投影等体现了这种思想。

  2.3数形结合思想应用注意事项

  利用数形结合思想解决问题,不止能够直观解决问题,还能够避免或减少复杂的计算和推理,从而将解题过程简化。在利用数形结合思想对问题进行分析和解决时,必须要把握三点:首先要对于定义、概念以及运算的几何意义和曲线的代数等系列知识清楚掌握,选取符合题目既定的条件与结论数形关系,我们必须对几何意义和数字意义都熟练、准确掌握,只有这样才能正确使用这一思想;其次要设定合适合理的参数,并以其为媒介建立二者的关系,做到由数思形,以形想数;最后还需要确定正确的参数取值范围。

  数形结合思想主要应用于方程与解不等式、求函数值域和最值、三角函数解题中,一般在选择题和填空题中比较多见。

  3分类与整合思想

  3.1概述

  当我们遇到一个问题,无法从整体入手时,可以通过抽丝剥茧,分析问题组成的结构,将问题化整为零,从而逐以突破。在这个过程中我们要将问题从大化为小、从整化为零、从共性问题化为特性问题,进而解决问题。以分途径解决总的问题这样利用“合—分—合”进行解决问题的途径称之为分类与整合的思想。[[4]高慧明,分类与整合的思想—数学思想方法系列讲座(4)[J],湖北教育(教育教学),2019,5]

  3.2举例说明

  例3.2.1已知,求函数在区间上的最大值

  解:当,即时,,在上是减函数

  当,即时,是二次函数

  (i)若,即,开口向上,对称轴

  最大值可在端点取得,

  当,,即时,

  当,,即时,

  (ii)若,即时,开口向下,对称轴

  在上是减函数,

  综上所述

  分析:应考虑为一次函数还是二次函数,注意的取值范围,根据函数单调增减性,在得到最值,并进行整合。

  大学数学:数分中间断点分类,区间连续函数等体现了这种思想。

  3.3分类与整合思想在应用中的注意事项

  分类与整合的思想指的是利用概念的划分与集合的分类作为基础的思想方法,我们在利用分类整合思想来解决问题时,必须把握好四点要求:第一明确分类原因,包括数学概念、数学运算、参数变化、性质定理的限制、图形位置不确定性、排列组合等;第二明确分类原则;第三掌握分类的步骤,包括明确分类对象,了解分类标准,分段分类讨论,归纳总结四步;第四了解分类类型。在数学学习过程中应培养分类与整合意识,做到不重复不漏掉。

  分类与整合思想的应用主要体现在函数定义域、值域,求参数范围,函数图像单调性解题中,其中常见类型有填空题,解答题。

  4化归与转化思想

  4.1概述

  把一个问题从难化易,从繁化简,从复杂化简单的过程称之为化归,而化归是一种目的性转化。在对数学问题进行解决是利用一定得途径将问题进行转化,从而实现问题的解决即为转化与化归思想。

  4.2举例说明

  例4.2.1设曲线在点处的切线斜率为,且,对一切实数,不等式恒成立。

  (1)求的值;

  (2)求函数的表达式

  解:(1)由已知得

  ∴

  (2)

  ∴即恒成立

  ∴即

  ∴∴

  ∴

  例4.2.2设,

  (1)当时,求曲线在处的切线方程;

  (2)如果存在,使得成立,求满足以上条件的最大的整数。

  解:(1)当时,,

  曲线在处的切线方程为

  (2)存在,使得成立,等价于

  ∴

  由二次函数图像可得:,

  ∴

  ∴满足条件的最大整数为

  大学数学:数分中由低阶到高阶求导问题等体现了这种思想。

  4.3化归与转化思想应用注意事项

  转化与化归思想在高考解题过程中应用广泛,是解决数学问题的重要思想,如将未知转化成已知、新知识转化成旧知识、复杂问题转化为简单问题、不同数学问题转化为同一问题等。解题的同时应掌握五原则:熟悉已知化原则、简单化原则、具体原则、和谐统一性原则、正难则反原则。

  化归与转化思想的应用主要体现在求待定系数、配方、三角函数、解析几何、圆锥曲线等题目中。

  5特殊与一般思想

  5.1概述

  从特殊至一般、再从一般至特殊这种反复认识过程是是人类认识世界的一个最基本的方式和过程。在我们解决数学问题的时候也可以利用这样“特殊-一般-特殊”的思维方式来解决难题,我们将这种方式叫做数学研究的特殊与一般思想。我们在解决问题时所用到的归纳法与演绎法均为对特殊与一般思想的应用。

  5.2举例说明

  例5.2.1证明不等式

  证明:(1)当时,左边,右边,左边<右边,不等式成立

  (2)假设时,左边<右边,不等式成立,

  即

  那么当时,

  所以,当时,不等式成立

  由(1)(2)得成立

  大学数学:数分中参变量函数,高代中行列式求值,求秩问题等体现了这种思想。

  5.3特殊与一般思想应用过程中的注意事项

  人类认知过程总是从特殊情况中归纳一般规律,再从一般规律中找出特殊情况,学习数学也是一样的道理,特殊-一般-特殊,可以使问题由浅入深,再由难到易,在解决问题的同时加深对数学知识的理解。解题过程中应注意抓住问题的特点逐步分析,抽丝剥茧,进而推广到一般问题,并在其中获取解决一般问题的规律,巩固对于特殊问题与一般问题之间的关联的认知,提升逻辑思维能力。

  特殊与一般思想应用主要体现在参数在函数图像的运动题中,其中常见类型为选择题,填空题。

  6或然与必然思想

  6.1概述

  世间万物都处于不断的变化中,我们对于世界的认知是由点到面、由整体向局部的,我们所认知的世界具有同时具有确定性和不确定性,比如太阳每天会升起,但是从那边升起、几点升起、以及是否能够看到太阳就是一件不确定随机的事情。为了从随机中寻找规律性,“概率”这门以随机为研究对象的数学学科产生了。研究概率的过程就是在“偶然”中找寻“必然”,然后利用找到的“必然”的规律处理“偶然”的问题,这种解决方式我们称之为或然与必然思想。

  6.2举例说明

  例6.2.1某学校假期举行进社区服务活动,该学校六年级级部拟成立4名同学组成的小队,通过初步选定,共有男同学2名、女同学4名,总计6名同学作为候选人,每位候选人加入社区服务的小队的机会是均等的。

  (1)求小队4名成员中恰好有1名男同学的概率;

  (2)求小队4名成员中至少有3名女生的概率。

  解:(1)将2名男同学和4名女同学分别编号为1,2,3,4,5,6(其中1,2是男同学,3,4,5,6是女同学)

  级部6名同学组成小队的情况有(1,2,3,4),(1,2,3,5),(1,2,3,6),(1,2,4,5),(1,2,4,6),(1,2,5,6),(1,3,4,5),(1,3,4,6),(1,3,5,6),(1,4,5,6),(2,3,4,5),(2,3,4,6),(2,3,5,6),(2,4,5,6),(3,4,5,6)共15种情况,其中恰好有1名男同学的情况有(1,3,4,5),(1,3,4,6),(1,3,5,6),(1,4,5,6),(2,3,4,5),(2,3,4,6),(2,3,5,6),(2,4,5,6)共8种情况

  故四名同学中恰好有1名男生的概率为

  (2)4名同学中至少有3名女同学包括全部都是女生和只有3名女生这两种情况,其中全部为女生的概率为,只有3名女生的概率为

  故四名同学中至少有3名女生的概率为

  分析:此题可以直接将所有情况全部列出,根据题目要求,找到符合的情况。

  大学数学:概率论中的大数定律,数字特征,随机变量等体现了这种思想。

  6.3或然与必然思想应用注意事项

  或然与必然思想存在于随机问题之中,因此要研究随机问题就需要掌握随机现象之中所蕴含的两个最基本的特性,其一是结果具有随机性,同样的实验器材、同样的实验条件也会产生不同的实验结果;其二是频率具有稳定,我们通过大量的实验我们所获得的结果中不同实验结果的出现的概率会稳定在一个常数附近。因此,我们要认识一个随机的现象就必须认识所有可能出现的结果,并获得不同结果的概率。

  或然与必然思想应用主要体现在古典概型、几何概型、抽样方法、总体分布这种概率题中,其中常见类型为填空题,解答题。

  7有限与无限思想

  7.1概述

  相比于无限,有限是具体的,因此人类对于有限的认知早于对无限的认知。并且有限对象进行研究时研究通常是有迹可循,因此可以将无限研究转化为有限研究,同样,当积累了一定的无限研究经验之后,也可以将无限研究转化为有限研究,通过对于无限和有限的转化解决问题的方式就是有限与无限思想。

  7.2举例说明

  例7.2.1已知数列满足,,我们知道当取不同值的时候,可以得到不同的数列,例如当时,可以得到无穷数列:;当时,可以得到有穷数列:。

  (1)求当为何值时,;

  (2)设数列满足,,求证取数列中的任何一个数,都可以得到一个有穷数列。

  解:(1)由题意得当时,;时,

  ∴

  (2),∴

  取数列中的任何一个数不妨设

  ∴

  即

  ∴

  即取数列中的任何一个数,都可以得到一个有穷数列。

  大学数学:数分中的数列,函数极限定义,无穷,洛必达法则等体现了这种思想。

  7.3有限与无限思想应用注意事项

  初始时,我们所认识的数学是有限的,具体的数学,但其中也覆盖了一部分有无限数学的思维,只是我们并未对其进行深入研究。例如在解析几何中,抛物线的渐近线之中就存在了无限思想;在数列以及函数的极限的研究中也蕴含了有限与无限的思想;我们在计算球的体积和表面积的过程中所采取的无限分割的解题方法,也是有限与无限的思想应用的体现。

  有限与无限思想应用主要体现在与其他数学思想和方法一起应用的过程中。例如,在利用从特殊至一般的归纳思维的过程中,蕴含了有限与无限的思想;在利用数学归纳法进行证明的过程中,解决的是无限的问题,显现的是有限与无限的思想。