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论文相关方法-线性方程组的解法及应用
时间:2021-04-01 09:39:01

  线性方程组是线性代数的重要内容之一,其求解方法在代数学中有着极其重要的作用,本文首先介绍了线性方程组的定义和有解的判别方法,然后归纳总结了六种不同的线性方程组的解法,另外还介绍了线性方程组在网络流模型、平面几何、化学等学科以及Matlab中的一些简单的应用.

  1.1线性方程组的定义

  定义1线性方程组的一般形式是:

  (1)

  其中代表未知量,代表未知量的系数,代表常数项.

  定义2若(1)的所有的常数项都等于0,即

  (2)

  则方程组(2)称为齐次线性方程组.若(1)的常数项不全为0,则称(1)为非齐次线性方程组.

  若把线性方程组(1)表示成矩阵形式,则引入矩阵

  那么方程组(1)可以写成

  (3)

  矩阵称为线性方程组(1)的系数矩阵,称为未知量矩阵,称为常数项矩阵,

  (4)

  称为线性方程组(1)的增广矩阵.

  1.2线性方程组解的判别

  定理1设一般线性方程组(1)的系数矩阵和增广矩阵分别为与,从而若则方程组(1)有且只有唯一解;若,则方程组(1)由无穷多解;若,则方程组(1)没有解.

  例1判别下列方程组是否有解?若有解,是有唯一解还是有无穷多解?

  解(1)用行初等变换将增广矩阵化成阶梯型矩阵,即

  因为,,两者不相等,所以方程无解.

  (2)用行初等变换将增广矩阵化成阶梯型矩阵,即

  因为,所以方程组有无穷多解.

  2线性方程组的解法

  高等代数教材中只给出了运用克拉默法则和利用增广矩阵进行初等行变换求解线性方程组的方法,本文将通过六种方法对求解线性方程组加以介绍,它们分别是克拉默法则、高斯消元法、分块矩阵法、逆矩阵法、LU分解法和平方根法.

  2.1克拉默法则

  个未知量个方程的线性方程组的解理论—克拉默法则,是线性代数的重要理论之一,也是非数学专业线性代数的重要教学内容.

  利用线性方程组(1)的系数可以构造一个阶行列式

  当时,(1)有且仅有一个解

  其中是把行列式的第1列的元素换以方程组的常数项而得到的阶行列式,以此类推.

  例2解线性方程组

  解这个方程组的系数矩阵行列式为

  而

  由克拉默规则,得方程组的解是

  ,,,

  例3解线性方程组

  解这个方程组的系数矩阵行列式为

  而

  由克拉默规则,得方程组的解是

  ,-,-

  2.2高斯消元法

  高斯消元法,又称高斯消去法,它是求解线性方程组的经典算法,是线性代数课程教学的重要组成部分.但是高斯消元法存在计算比较繁琐的问题,主要是计算过程变化过多,使得运用该算法计算时有一定的困难.下面通过具体的例子来了解高斯消元法的主要解题过程.

  例4解线性方程组

  解对增广矩阵进行初等变换:

  对应的线性方程组是

  移项得

  例5解线性方程组

  解对线性方程组的增广矩阵进行初等变换:

  对应的线性方程组是

  移项得

  2.3分块矩阵法

  由向量空间理论可知,齐次线性方程组的解空间的维数由系数矩阵的秩决定,而它的解都可以写成它的基础解系的线性组合.在[5]中提到的分块矩阵法就是在此基础上得出的.

  设齐次线性方程组的系数矩阵是行列矩阵,且秩,不妨设的阶非零子式位于的左上角,则对其施行行初等变换可以化为

  其中

  均为零矩阵.令

  则…是的一个基础解系,这个方程组的每一解都可以由这组向量线性表示.

  例6求解方程组

  解对系数矩阵施行行初等变换:

  ,基础解系含个解:

  综上所述,,因此方程组的通解为,其中为任意数.

  2.4逆矩阵法

  设均为相同阶方阵,若(其中为单位矩阵),则称和互为逆矩阵.

  对于方程组,若的逆矩阵存在,左右两边同时乘以,则等式变为,从而得到了方程组的解.综上所述求出矩阵的逆矩阵即可求出方程组的解,可用[6]中提到的方法求逆矩阵,即行初等变换法求逆矩阵,把和与其同阶的单位矩阵并排放在一起,对这个所得的矩阵进行行初等变换,当的对应部分化为单位矩阵时,单位矩阵对应的部分就是的逆矩阵.

  例7解线性方程组

  解利用以上求逆矩阵的方法可求得

  于是

  解得

  2.5分解法

  解线性方程组

  即解,通过将系数矩阵分解成两个三角形矩阵的乘积将解的问题转化为,的求解问题.

  定理2若式非奇异矩阵,则能分解为的充分必要条件是的顺序主子式均不为零,即

  由,即

  故可得和的计算公式:

  (1)计算的第一行,的第一列:

  (2)计算的第行,的第列:

  (6)

  (7)

  例8用分解法求解线性方程组

  解用公式(6)(7)计算得到

  解方程组,得再解

  得

  2.6平方根法

  平方根法是线性方程组的一种有效方法,就是利用对称正定矩阵的三角分解,求得具有对称正定矩阵线性方程组的解.

  定理3设正定矩阵,则存在上三角分解,其中是非奇异下三角形矩阵,且当限定的对角线元素为正时,这种分解是唯一的.

  应用对称正定矩阵的平方根法,可以根据解具有对称正定系数矩阵的线性方程组,将矩阵分解成为

  (1)根据矩阵乘法可得的第一列式子:

  从而确定了第列的式子为:

  (2)求解线性方程组,等价于解两个三角方程组

  相应的递推算式为

  和

  即可.

  例9利用平方根法求解方程组

  解设

  利用公式计算得,解下三角方程组

  解得,再由

  解得线性方程组的解为

  3线性方程组的应用

  线性方程组的应用领域十分广泛.在数值计算领域中,对线性方程组求解的研究比较热门,大量的科学技术问题最终通过解线性方程组得到解决,下面简单介绍一下它在网络流模型、平面几何、化学以及Matlab方面的应用.

  3.1线性方程组在网络流模型中的应用

  网络流模型是一种数学模型,目前已经受到各个领域的广泛关注和使用,例如,交通、城市规划等等.在交通流模型中,假设车流入总量等于车流出总量,联结点流入总量等于流出总量.鉴于此,假设以图1表示流量于一个支流流入的连接点;图2表示车流量从两个支流流入的结点;均代表各个支流的流出流量;代表其他支流流入的流量.在每个联结点中,流量都具备守恒性,由此可以得出以及.所有类似的网络问题模型中,每个联结点流量问题都可以利用一个线性方程进行表示并加以计算.

  80

  图1流量从一个支流流入的联接点

  100

  图2流量从两个支流流入的联结点

  40

  40 60

  25 20

  图3例7的图示

  下面通过一个例题对上述的理论进行说明.

  例10图3所示的网络是计算哈尔滨市某区道路的交通流量于下午五点至六点的交通流量图,下面将对交通流的问题进行分析.

  解根据假设,在南京市鼓楼区珠江路的交通流量联结点的处,可以得出以下方程组:

  同时,南京市珠江路的交通总流入与总流出必须相等,即.经计算可得出.结合以上方程,可得出

  假设,代表任意常数,那么可将所求网络模型表示为:,,,,.

  3.2线性方程组在平面几何中的应用

  平面几何是对直线和二次曲线(包括椭圆、双曲线和抛物线)及其几何结构和度量性质(包括长度、角度、面积)进行研究,通常用公理化方法计算.但有些问题也能利用线性方程组的方式解决.

  例11已知两个不同的点为,,求此两点所确定的直线方程.

  解设直线方程为,根据题意可得

  这是一个关于的齐次线性方程组,由于直线方程的不同时为零,因此方程组由非零解.方程组有非零解的充要条件是系数行列式为零,即

  展开化简得

  即直线方程为.

  3.3在化学中的应用

  根据质量守恒定律及原子是化学变化中的最小微粒这一定义可知,反应前后任意参与化学反应的原子的种类和数量不变.由化学变化的本质可知,原子在参与化学反应时,其最外层电子在反应物之间的得失总数相等.计量化学反应关系的基础是进行定量分析,可是化学反应千变万化,包罗万象,丰富多样,所以配平化学反应方程式很困难,按照齐次线性方程组的理论,得出求齐次线性方程的互质正整数的推论,对化学方程式进行配平.

  若齐次线性方程组(2)的解的各个分量

  均为整数且互质,则称为齐次线性方程组(2)的一个互质的正整数解.

  定理4齐次线性方程组(2)有互质正整数解的充分必要条件是齐次线性方程组(2)有正有理数解.

  因此只要求出齐次线性方程组(2)的正有理数解,就能求出它的正整数解,进而求出它的互质的正整数解.应用以上理论我们可以求得齐次线性方程组的互质正整数解.

  例12配平下列化学反应方程式

  解设有待定系数使得

  则有

  故得到下列含有个未知数的齐次方程方程组:

  它的系数矩阵为

  将系数矩阵实施行初等变换

  解得

  显然令自由未知量,可得方程组唯一互质得正整数解为

  综上所述,所给化学反应式配平为:

  3.4在Matlab中的应用

  Matlab是由美国研发的一种计算软件,具备强大的科学及工程计算能力,因此得到诸多领域的广泛使用.将Matlab软件运用到线性方程组的求解中,可以解决线性方程组求解过程中各种运算问题,例如,求行列式的值、向量组的秩、求方程的特征值等等.同时利用Matlab软件的绘图命令,还可以详细分析出线性代数诸多概念的几何意义,将抽象的概念简单明晰,以便于学生加深对线性代数的理解.

  例13对以下非齐次线性方程组有解与否进行判断,若是判断出有解,求出该解.

  解对方程组系数矩阵进行判断,分析该矩阵的秩是否等同于增广矩阵的秩,在命令窗口输入以下公式:

  [1 1 2;2 3 5;3 8 1];

  [4 10 7];

  [];

  输入后按回车键就可得出,,因此可知可判断出该方程无解.